Theorem 1. A set $O$ is open $\iff$ $O^c$ is closed. Likewise, a set $F$ is closed $\iff$ $F^c$ is open. Proof. $(\Longrightarrow)$ $O$가 open이라고 하자. $x$를 $O^c$의 limit point라고 하면, $x$의 어떤 근방을 가지고 와도 항상 $O^c$와 겹치는 부분이 존재하므로 $x \in O^c$이다. ($\because$ 만약 $x \in O$이면 $x$의 어떤 근방이든 항상 $O$에 완전히 포함되므로 $O^c$와 겹치는 부분이 생길 수 없다.) 따라서 $O^c$는 closed이다. $(\Longleftarrow)$ $O^c$가 closed라고 하자. $a \in O$를 가져온 뒤 $..
Closed Set, Derived Set Definition 1. The derived set $A'$ of $A$ is the set of all limit points of $A$. Definition 2. A set $F \subseteq \mathbb{R}$ is closed if $F' \subseteq F$. 보통 closed라면 open이 아닌 것을 정의하는 것이 직관적인 것 같은데, 두 개념은 상호 배타적이지 않다. 다시 말해 open이면서 동시에 closed인 집합도 존재하고, 반대로 open도 아니고 closed도 아닌 집합도 존재한다. closed, 즉 '닫혀 있다'는 개념이 수학에서 보통 어떤 의미로 사용되는지 상기해 보자. 벡터 공간은 주어진 연산에 대해서 닫혀 있는데, 이는 벡..
Open Set Definition 1. Given $a \in \mathbb{R}$ and $\epsilon > 0$, the set $$V_{\epsilon}(a) = \{x \in \mathbb{R} \,|\, |x-a| < \epsilon \}$$ is called the $\epsilon$-neighborhood of $a$. $a$의 $\epsilon$-근방, 줄여서 근방은 주어진 점을 중심으로 일정 간격 내에 있는 점들의 집합이다. 직관적으로 1차원이라면 open interval, 2차원이라면 경계를 포함하지 않는 disk, 3차원이라면 표면을 포함하지 않는 ball을 생각하면 된다. Definition 2. A set $O \subseteq \mathbb{R}$ is open if for ..
Metric Definition 1. Given a nonempty set $X$, metric is a function $d: X \times X \rightarrow [0, \infty)$ such that $\forall x, y, z \in X$, the following hold: (a) $d(x, y) = 0 \Longleftrightarrow x = y$ (b) $d(x, y) = d(y, x)$ (c) $d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$ Then $(X, d)$ is called a metric space. 위와 같은 성질을 만족하는 함수 $d$를 metric, 즉 거리라고 부른다.
