Closed Set, Derived Set
Definition 1. The derived set $A'$ of $A$ is the set of all limit points of $A$.
Definition 2. A set $F \subseteq \mathbb{R}$ is closed if $F' \subseteq F$.
보통 closed라면 open이 아닌 것을 정의하는 것이 직관적인 것 같은데, 두 개념은 상호 배타적이지 않다. 다시 말해 open이면서 동시에 closed인 집합도 존재하고, 반대로 open도 아니고 closed도 아닌 집합도 존재한다.
closed, 즉 '닫혀 있다'는 개념이 수학에서 보통 어떤 의미로 사용되는지 상기해 보자. 벡터 공간은 주어진 연산에 대해서 닫혀 있는데, 이는 벡터 공간의 원소들을 가지고 어떻게 연산을 하더라도 그 결괏값이 다시 벡터 공간에 속한다는 뜻이다. 즉 직관적으로 어떤 집합이 닫혀 있다,는 개념은 그 집합 안에서 특정한 수학적 행위를 전부 할 수 있다는 것이다. 즉 외부의 도움을 필요로 하지 않는다.
그리고 해석학에서 집합이 닫혀 있다는 의미는 다름아닌 그 집합에 속한 수열의 극한값이 그 집합에 속한다는 의미이다. 집합 $F$의 도집합, 즉 derived set은 $F$의 모든 limit point를 모아놓은 집합으로, 수열이 수렴할 수 있는 후보들을 모두 모아놓은 것이다. 따라서 $F$가 도집합 $F'$를 포함하고 있다는 것은 $F$ 안에 극한값의 후보가 모두 있다는 뜻이고, 어떻게 수렴하는 수열을 잡아도 그 극한값이 전부 $F$ 안에서 해결된다는 말이다. 이 논의를 작성한 것이 아래의 정리이다.
Theorem 1. A set $F \subseteq \mathbb{R}$ is closed $\iff$ every Cauchy sequence contained in $F$ has a limit that is also an element of $F$.
Proof. $(\Longrightarrow)$ $F$가 closed라고 가정하자. $x$를 $F$의 limit point라고 하면, 가정에 의해 $x \in F$이다. 이때 Theorem 1에 의해서 $x = \lim a_n$을 만족하는 수열 $(a_n) \subseteq F (a_n \neq x, \forall n \in \mathbb{N})$이 존재하고, $(a_n)$은 수렴하므로 Cauchy sequence이다. $x$를 임의로 택했으므로 Cauchy sequence인 $(a_n)$의 임의성도 보장할 수 있고, $x \in F$이므로 증명은 완료된다.
$(\Longleftarrow)$ $x$를 $F$의 limit point라고 하자. 이때 Theorem 1에 의해서 $x = \lim a_n$을 만족하는 수열 $(a_n) \subseteq F (a_n \neq x, \forall n \in \mathbb{N})$이 존재하고, $(a_n)$은 수렴하므로 Cauchy sequence이다. 따라서 가정에 의해 $x \in F$이다. $\blacksquare$
Theorem 2. For any set $A \subseteq \mathbb{R}$, $A'$ is closed.
Proof. $x$를 $A'$의 limit point라고 하자. 이때 Theorem 1에 의해 $x = \lim a_k$을 만족하는 수열 $(a_k) \subseteq A' (a_k \neq x, \forall k \in \mathbb{N})$이 존재한다. 각 $a_k$은 $A$의 limit point이므로 $$a_k = \lim_{n \to \infty} (b_k)_n$$을 만족하는 수열 $(b_k)_n \subseteq A ((b_k)_n \neq a_k, \forall n \in \mathbb{N})$이 존재한다.
$\epsilon > 0$을 임의로 택하자. 이때 $N_1 \in \mathbb{N}$이 존재해서 $n \geq N_1 \Longrightarrow a_k \in V_{\epsilon}(x)$을 만족한다. 마찬가지로 어떤 $N_2 \in \mathbb{N}$이 존재해서 $n \geq N_2 \Longrightarrow (b_k)_n \in V_{\epsilon}(a_k)$이다. 이때 $\epsilon' = \min \{ |a_k - x|, (x+\epsilon) - a_k, a_k - (x - \epsilon) \}$으로 두자. (Figure 1을 참조하라.) 따라서 $(b_k)_n \in V_{\epsilon'}(x) \cap A$이고, 모든 $n, k \in \mathbb{N}$에 대해서 $(b_k)_n \neq a_k \neq x$이므로 $(b_k)_n \in V_{\epsilon'}(x) \cap A \backslash \{ x \}$이다. 즉 $x$는 $A$의 limit point이므로 $x \in A'$이다. 따라서 $A'$은 closed set이다. $\blacksquare$
Closure
Definition 3. The closure of $A$ is defined to be $\overline{A} = A \cup A'$.
$A'$은 $A$의 derived set, 즉 도집합이다. $A$의 closure, 즉 폐포는 $A$와 $A$의 limit point들을 모두 모아놓은 집합으로, 수열의 극한을 다룰 때 후보가 되는 limit point들이 주어진 집합에 속하면 닫힌 집합이라고 했다. 이때 closure은 주어진 집합을 포함하는 닫힌 집합 중 가장 작다.
Theorem 3. For any $A \subseteq \mathbb{R}$, the closure $\overline{A}$ is a closed set and is the smallest closed set containing $A$.
Proof. $x$를 $\overline{A}$의 limit point라고 하자. 이때 $x = \lim a_n$을 만족하는 수열 $(a_n) \subseteq \overline{A} (a_n \neq x, \forall n \in \mathbb{N})$이 존재한다. $\overline{A} = A \cup A'$이기 때문에 $\forall n \in \mathbb{N}, a_n \in A \vee a_n \in A'$이다. 따라서 $a_n$의 부분수열 $(x_n) \subseteq A (x_n \neq x, \forall n \in \mathbb{N})$을 잡아낼 수 있다. 수렴하는 수열의 부분수열은 같은 극한값으로 수렴하기 때문에, $$\lim_{n \to \infty} x_n = x$$이다. 따라서 $y$는 $A$의 limit point이므로 $x \in A'$이고, $x \in \overline{A}$이다.
$F$를 $A$를 포함하는 닫힌 집합이라 하자. 자명하게 $A' \subseteq F' \subseteq F$이므로 $\overline{A} \subseteq F$이다. $\blacksquare$
