Theorem 1. A set $O$ is open $\iff$ $O^c$ is closed. Likewise, a set $F$ is closed $\iff$ $F^c$ is open. Proof. $(\Longrightarrow)$ $O$가 open이라고 하자. $x$를 $O^c$의 limit point라고 하면, $x$의 어떤 근방을 가지고 와도 항상 $O^c$와 겹치는 부분이 존재하므로 $x \in O^c$이다. ($\because$ 만약 $x \in O$이면 $x$의 어떤 근방이든 항상 $O$에 완전히 포함되므로 $O^c$와 겹치는 부분이 생길 수 없다.) 따라서 $O^c$는 closed이다. $(\Longleftarrow)$ $O^c$가 closed라고 하자. $a \in O$를 가져온 뒤 $..
Closed Set, Derived Set Definition 1. The derived set $A'$ of $A$ is the set of all limit points of $A$. Definition 2. A set $F \subseteq \mathbb{R}$ is closed if $F' \subseteq F$. 보통 closed라면 open이 아닌 것을 정의하는 것이 직관적인 것 같은데, 두 개념은 상호 배타적이지 않다. 다시 말해 open이면서 동시에 closed인 집합도 존재하고, 반대로 open도 아니고 closed도 아닌 집합도 존재한다. closed, 즉 '닫혀 있다'는 개념이 수학에서 보통 어떤 의미로 사용되는지 상기해 보자. 벡터 공간은 주어진 연산에 대해서 닫혀 있는데, 이는 벡..
Open Set Definition 1. Given $a \in \mathbb{R}$ and $\epsilon > 0$, the set $$V_{\epsilon}(a) = \{x \in \mathbb{R} \,|\, |x-a| < \epsilon \}$$ is called the $\epsilon$-neighborhood of $a$. $a$의 $\epsilon$-근방, 줄여서 근방은 주어진 점을 중심으로 일정 간격 내에 있는 점들의 집합이다. 직관적으로 1차원이라면 open interval, 2차원이라면 경계를 포함하지 않는 disk, 3차원이라면 표면을 포함하지 않는 ball을 생각하면 된다. Definition 2. A set $O \subseteq \mathbb{R}$ is open if for ..
Positive Definite, Semidefinite Definition 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$ where $V$ is a finite-dimensional inner product space, and let $A \in M_{n \times n}(F)$. Then $T$ is called positive definite [positive semidefinite] if $T$ is hermitian and $\langle T(x), x \rangle > 0$ $[\langle T(x), x \rangle \geq 0], \forall x \neq \mathbf{0}$, and $A$ is called positive definite [positive semidefinit..
Lagrange Interpolation Formula Lagrange Interpolation Formula, 즉 라그랑주 보간법이라고 불리는 이 방법은 주어진 $(n+1)$개의 점들을 모두 지나는 $n$차 이하의 다항식을 유일하게 결정하는 방법이다. Lagrange Polynomial Definition 1. Let $c_0, \cdots, c_n$ be distinct scalars in an infinite field $F$. The lagrange polynomials $f_0, \cdots, f_n$ is defined by $$f_i(x) = \prod_{0 \leq k \neq i \leq n} \frac{x - c_k}{c_i - c_k} \text{ for } 0 \leq i \leq ..
