NestedDefinition. A sequence of sets $\{ I_n \}_{n=1}^\infty$ is said to be nested if $I_n \supset I_{n+1}, \forall n \in \mathbb{N}$.Nested Interval TheoremTheorem. If $\{ [a_n, b_n] \}_{n=1}^\infty$ is a nested sequence of intervals, then (i) $\bigcap_{n=1}^\infty [a_n, b_n] \neq \emptyset$. (ii) If $\lim_{n \to \infty} (b_n - a_n) = 0$, then $\bigcap_{n=1}^\infty [a_n, b_n]$ is a singleton.Pr..

Improper Integral of The First KindDefinition 59.1. Let \( f \) and \( \alpha \) be bounded functions defined on the interval \( [a, \infty) \). Suppose that \( f \in \mathscr{R}_\alpha[a, b] \) for every \( b > a \). The improper Riemann-Stieltjes integral (of the first kind) \( \int_a^\infty f \, d\alpha \) is the ordered pair \( (f, F) \), where $$ F(b) = \int_a^b f \, d\alpha $$ for \( b > a..

OscillationDefinition 58.1. Let \( f \) be a bounded function on \( [a, b] \). If \( I \) is an interval, we let $$ \omega_f(I) = \operatorname{sup} \{f(x) \mid x \in I \cap [a, b]\} - \operatorname{inf} \{f(x) \mid x \in I \cap [a, b]\} $$ We call \( \omega_f(I) \) the oscillation of \( f \) on \( I \). If \( x \in [a, b] \), we let $$ \omega_f(x) = \operatorname{inf} \{\omega_f(J)\} $$ where t..

Measure ZeroDefinition 57.1. Let $X$ be a subset of $\mathbf{R}$. We say that $X$ is of measure zero if for every $\varepsilon > 0$, there exists a countable family $\{I_n\}$ of open intervals such that $\bigcup_{n=1}^\infty I_n \supset X$ and $\sum_{n=1}^\infty |I_n| RemarkRemark.(i) A finite set $X = \{x_1, \ldots, x_n\}$ is of measure zero. $(\because)$ Let $\varepsilon > 0$. Then the family ..

Absolutely ContinuousDefinition. Let $I$ be an interval of $\mathbb{R}$ and let $f$ be a function on $I$. We say that $f$ is absolutely continuous on $I$ if for every $\varepsilon > 0$, there exists $\delta > 0$ such that if $\{(a_k, b_k)\}_{k=1}^n$ is a finite set of open subintervals of $I$ with $(a_i, b_i) \cap (a_j, b_j) = \emptyset$ for $i \neq j$ and $\sum_{k=1}^n (b_k - a_k) Exercise 56.1..

Definition 50.1 Definition 50.1 Let \( f : (a, b) \to \mathbb{R} \). \( f^{(1)} \) is the function on a subset of \( (a, b) \) defined by \[ f^{(1)}(x) = f'(x) \quad \text{with domain } f^{(1)} = \{ x \in (a, b) \mid f'(x) \text{ exists} \} \] \( f^{(2)} \) is the function \[ f^{(2)}(x) = (f^{(1)})'(x) \quad \text{with domain } f^{(2)} = \{ x \in (a, b) \mid (f^{(1)})'(x) \text{ exists} \} \] \(..

Cauchy ProductDefinition 29.8. The Cauchy product of the series $\sum_{n=0}^\infty a_n$ and $\sum_{n=0}^\infty b_n$ is the infinite series $\sum_{n=0}^\infty c_n$, where $$ c_n = a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + \cdots + a_n b_0 = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}. $$Theorem 29.9Theorem 29.9. Let $\sum_{n=0}^\infty a_n$ and $\sum_{n=0}^\infty b_n$ be absolutely convergent series, and let $\sum_{n=0}^\infty c_n$ b..

Rearrangement Definition 29.6. A rearrangement of the series \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) is a series \(\sum_{n=1}^\infty a_{f(n)}\), where \(f\) is a permutation of the set of positive integers. Theorem 29.7 Theorem 29.7. Let \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) be an absolutely convergent series. Then the rearrangement \(\sum_{n=1}^\infty a_{f(n)}\) of \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) converges absolutely, and \[ ..

대칭 팽이의 자유운동오일러 방정식을 이용해 위 그림과 같이 $x_3$축에 대칭이며 각속도 벡터 $\omega$를 가지고 회전하는 팽이의 회전 운동을 기술해보자. 중력과 마찰이 없다고 가정하면 팽이는 외력 없이 회전 운동을 유지하고 있다. 따라서 외력이 없는 경우의 오일러 방정식을 적용할 수 있다. 좌표축은 관성 주축에 대응되도록 잡았다고 가정하고 운동의 특성상 $I_1 = I_2 \neq I_3$라고 둘 수 있다. 그러면 오일러 방정식은 다음과 같다. $$\begin{align*} & I_3 \dot \omega_3 = 0 \\ & (I_1 - I_3) \omega_2 \omega_3 - I_1 \omega_1 = 0 \\ & (I_3 - I_1) \omega_3 \omega_1 - I_1 \dot \o..

외력이 없는 경우의 오일러 방정식관성 텐서와 오일러 각등을 통해 회전하는 강체의 여러 물리량들과 회전 운동을 행렬로 기술할 수 있음을 확인했다. 이제 회전하는 강체에 대한 운동 방정식인 오일러 방정식을 유도해보자. 우선 관성 주축에 각 축이 대응되도록 좌표계를 잡고 외력이 없다고 가정한다. 즉 퍼텐셜은 없다고 둘 수 있고 라그랑지안은 $$\mathcal{L} = \frac{1}{2} \sum_i I_i \omega^2_i$$으로 주어진다. 오일러 각에 의한 일반화 좌표계 $(\phi, \theta, \psi)$에 대해 라그랑주 방정식과 체인 룰을 적용하면 $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} - \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathc..

오일러 각관성 텐서와 같은 물리량을 도입함으로 회전하는 강체의 운동에너지나 각운동량과 같은 물리량들을 행렬곱으로 나타낼 수 있음을 살펴보았다. 더 나아가 고정된 관성계 $X'$와 회전하는 강체의 좌표계 $X$는 회전변환 $\lambda$에 의해 $X = \lambda X'$의 관계를 가지며, 따라서 회전하는 강체의 운동 자체를 행렬곱으로 기술할 수 있음을 알 수 있다. 오일러 각이란 강체의 회전을 나타내기 위해 회전변환에 사용되는 각들을 의미한다. 3차원 고정계의 변환을 다루기 때문에 3개의 각도가 필요하다. 변환 전 고정계의 축을 $(x_1', x_2', x_3')$이라고 하자. 우선 $x_3'$축을 중심으로 반시계방향으로 $\phi$만큼 회전한다. 회전 후 좌표축을 $(x_1'', x_2'', ..

관성 텐서$n$개의 입자로 구성된 강체가 병진운동과 회전운동을 동시에 한다고 해보자. 이때 질량중심에 대하여 병진운동과 회전운동을 분리해서 서술하는 방법이 편리하다. 계의 선운동량은 질량중심의 선운동량과 같고, 계의 총 각운동량은 원점에 대한 질량중심의 각운동량과 질량중심에 대한 계의 각운동량으로 표현된다. 따라서 어떤 고정된 관성계에 대해서 $V$의 속도로 질량중심이 등속운동을 하고, 질량중심을 원점으로 하는 좌표계에서 계의 각 입자가 $ \omega $의 각속도로 회전하는 것으로 강체의 운동을 분석할 수 있다. 질량중심에 대한 각 입자의 위치벡터를 $r_{\alpha}$, 속도벡터를 $v_{\alpha}$라고 두면 $$v_{\alpha} = V + \omega \times r_{\alpha}$$..

러더퍼드 산란 단면적아주 좁은 폭의 입자빔이 축에 평행한 방향으로 날아오고 있고 한편에는 어떤 입자들이 뭉쳐 있어서 날아오는 입자빔에 척력을 가하는 작은 공간 영역이 있다고 하자. 입자가 이 공간에 접근하게 되면 척력에 의해 공간 상으로 일정 각도를 가진 채 산란될텐데, 이때 입자가 산란될 수 있는 총 단면적을 구해보자. $s$를 축으로부터 입자빔의 반경이라고 할 때 입자가 $ds$ 만큼의 폭을 가지고 날아간다고 하자. 이때 처음에 입자가 날아가는 면적은 $2\pi s ds$이다. 이때 $\sigma(\theta)$를 입자빔이 공간 상에서 입체각 $\Omega$ 만큼 산란될 때 갖는 면적의 분포함수라고 하자. 그러면 $$| 2 \pi s ds| = |\sigma(\theta) d \Omega| = ..

중심력이 작용하는 입자계의 운동방정식중심력이 작용하며 환산질량 $\mu$를 가지는 두 입자로 구성된 입자계를 고려하자. 두 입자가 어떤 점을 중심으로 회전한다고 할 때 환산질량에 대한 라그랑지안은 다음과 같다. $$\mathcal{L} = \frac{1}{2}\mu (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2) - U(r)$$ $r$은 두 입자 사이의 거리이며 $U$는 퍼텐셜이다. 중심력이 작용하는 경우 계의 각운동량 $\ell$은 보존된다. $$p_{\theta} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}} = \mu r^2 \dot{\theta} = \ell = \text{const.}$$ 입자의 운동방정식을 구해보자. 마찰이 없다..

환산질량Definition 1. The reduced mass of two particles whose masses are $m_1$ and $m_2$ is defined by $$\mu = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}.$$중심력이 작용하는 두 점입자의 계를 고려하자. 각각 질량 $m_1, m_2$를 가지는 두 점입자는 어떤 고정된 원점에 대하여 위치벡터 $\mathbf{r_1}, \mathbf{r_2}$를 가진다. 두 입자의 질량중심의 위치벡터를 $\mathbf{R}$이라고 하면 $\mathbf{R} = \frac{m_1\mathbf{r_1} + m_2\mathbf{r_2}}{m_1+m_2}$로 표현된다. 이때 계의 라그랑지안은 다음과 같이 주어진다. $$\mathcal{L} = \frac..

ProblemProblem. Find the shape of a mirror which has the property that rays from a point $O$ on the axis are reflected into a parallel beam. Solution축 위에 놓인 원점에서 쏜 빛이 축과 평행한 방향으로 반사되도록 하는 거울의 모양을 찾으라는 문제다. 그림에서도 알 수 있듯이 그러한 기하학적 모양은 포물선이 유일하고, 포물선은 위와 같은 광학적 성질을 가짐을 확인할 수 있다. 그림을 참고하면 $\tan 2 \theta = \frac{y}{x}$임을 알 수 있고, 배각공식과 $\tan \theta = y' = \frac{dy}{dx}$임을 이용하면 다음의 미분방정식을 얻는다. $$\ta..

Discrete Dynamical Systems행렬 $A \in M_{k \times k}(\mathbb{R})$에 대해서 LdE $X_n = A X_{n-1}, n \in \mathbb{N}$을 discrete dynamical system이라고 부른다. $A$가 대각화 가능하다면 $k$개의 선형독립인 고유벡터 $v_1, ..., v_k$과 각각에 대응되는 고유값 $\lambda_1, ..., \lambda_k$가 존재한다. 이때 해는 $$X_n = c_1 \lambda_1^nv_1 + \cdots + c_k \lambda_k^n v_k$$로 주어진다. 한편 $n$이 점점 커질수록 주어진 해 $X_n$은 각 고유값 $\lambda$의 크기에 따라 그 거동이 달라진다. 만약 모든 고유값의 크..

Linear Difference EquationsDefinition 1. Define a sequence $\{ X_n \in \mathbb{R}^k \mid n \ge 0 \}$ by a matrix equation $$X_n = A X_{n-1}, \quad n \ge 1, \quad \text{with an arbitrary } k \times k \text{ square matrix } A.$$ Such an equation $X_n = A X_{n-1}, n \ge 1$ is called a linear difference equation (LdE) of order $k$.A solution to an LdE $X_n = A X_{n-1}$ is a sequence $\{ X_n \in \mat..

Linear Recurrence RelationsDefinition 1. A sequence $\{x_n\}_{n = 0}^{\infty}$ is said to satisfy a linear recurrence relation (LRR) of order $k$ if $\exists\,a_1,\dots,a_k$ with $a_k\neq 0$ such that $$ x_n=a_1x_{n-1}+\cdots+a_kx_{n-k}, \forall n\ge k. $$번역하면 '선형 점화식'이며, 줄여서 LRR이라고 부른다. 고등학교 교육과정에서는 '수열의 귀납적 정의'정도로 부르는 것 같다. 보통 수열은 일반항으로 주어져서 임의의 $n$번째 항을 공식을 통해 구할 수 있다. 그러나 특정한 규칙으로 정의되는 수열의 경..

Gauss-Jordan EliminationA = input('');[m, n] = size(A);Aug = A;r = 1; % 가장 처음 시작하는 행for i = 1:n % 각 열마다 pivot을 찾아서 체크할 것임. k = r; while k m % 그 열에서 pivot이 없는 경우 다음 열로 continue end if k ~= r % 만약 pivot이 있는 행이 현재 고정된 행인 r이 아니라면, Aug = rowij(Aug, r, k); % pivot 행과 현재 행 row exchange end Aug(r, :) = Aug(r, :) / Aug(r, i); % pivot에 해당하는 열 i의 성분으로 현재 행 r을 normalization..

함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$이 주어졌을 때, 합성함수 $f \circ f$, $f \circ f \circ f, ... f^{n}$을 matlab으로 출력해보자. xx = -6:0.001:8;n = length(xx);yy=[];for j=1:n x = xx(j); for i=1:3 y=f(x); x=y; end yy = [yy y];endplot(xx,yy)function y=f(x) y=abs(x-1);end 위 코드는 함수 $f(x) = |x-1|$의 합성함수 $f^{3}$의 그래프를 구현한 코드다. 합성함수는 처음 함수값이 다시 정의역의 원소로 쓰이는 구조이기 때문에 이중포문에서 먼저 계산된 $y$값이 다시..

Systems of First-Order Linear EquationsDefinition 1. Let $$x_1' = F_1(t, x_1, x_2, \ldots, x_n), \\ x_2' = F_2(t, x_1, x_2, \ldots, x_n), \\ \vdots \\ x_n' = F_n(t, x_1, x_2, \ldots, x_n)$$ be a system of first-order ordianry differential equations. If each of the functions $F_1, ..., F_n$ in the above equations is a linear function of the dependent variables $x_1, ..., x_n$, then the system of ..

Minimal PolynomialDefinition 1. Let $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$. A minimal polynomial of $A$ is the monic polynomial $m(t)$ of smallest degree such that $m(A) = O$.Remark 1Remark 1. Let $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$.(i) If $f(t)$ is a polynomial such that $f(A) = O$, then $m(t)$ divides $f(t)$.(ii) There is the unique minimal polynomial of $A$.(iii) $m(t)$ divides the characteristic ..

Linear Partial Differential EquationDefinition 1. A linear second-order partial differential equation is given by $$A(x, y) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + B(x, y) \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + C(x, y) \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + D(x, y) \frac{\partial u}{\partial x} + E(x, y) \frac{\partial u}{\partial y} + F(x, y) u(x, y) = G(x, y).$$ If $G(x, y) = 0$, the equation i..

AnalyticDefinition 1. A function $f$ is said to be analytic at $x = a$ if $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n \quad \text{for } |x - a| 0$.어떤 점 $x = a$ 근방에서 함수 $f$가 테일러 전개가 가능하다면 $f$는 $a$에서 해석적이라고 부른다. 정의역의 모든 점에서 해석적이라면 $f$를 해석함수, analytic funciton이라고 부른다. 테일러 급수는 미분가능하므로 해석적이라면 미분가능하다. 다만 다음의 반례에서 알 수 있듯이 역은 성립하지 않는다. Example. Let $$f(x) = \begin{cases} e^{- \frac{..

ConvolutionDefinition 1. Let $f, g$ be piecewise continuous functions on $[0, \infty)$. The convolution of $f$ and $g$, denoted by $f * g$, is a function defined by the integral $$f * g = \int_0^t f(\tau) g(t - \tau) \, d \tau$$Remark. (i) $f * g = g * f$(ii) $f * (g_1 + g_2) = f * g_1 + f * g_2$(iii) $(f * g) * h = f * (g * h)$(iv) $f * 0 = 0 * f = 0$(v) $\int_0^t f(\tau) \, d \tau = f * 1$. In..

Translation on the $s$-axisTheorem 1. Let $F(s) = \mathcal{L} \{ f(t) \}$. Then $$\mathcal{L} \{ e^{at} f(t) \} = F(s-a)$$Proof. 즉 원래 함수 $f(t)$에 지수함수 $e^{at}$를 곱하는 효과는 $s$축에서 $a$만큼 평행이동 시킨 효과와 같다. 생각보다 자주 헷갈리기 때문에 $$F(s) \bigg|_{s \to s - a}$$와 같이 표기해 두는 것이 도움이 된다. 반대로 기존에 알고 있던 라플라스 변환에서 평행이동 된 꼴을 역변환시켜야 한다면 기존의 역변환 꼴에 지수함수를 곱한 꼴로 복원된다. Unit Step FunctionDefinition 1. The unit step function (He..

Laplace TransformDefinition 1. Let $f$ be a function defined for $t \ge 0$. Then the Laplace transform of $f$ is defined by the equation $$\mathcal{L} \{ f(t) \} = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt$$ whenever the integral converges. Note. (i) The Laplace transform $\mathcal{L}$ is linear. That is, $$\mathcal{L} \{ a f(t) + b g(t) \} = a \mathcal{L} \{ f(t) \} + b \mathcal{L} \{ g(t) \}.$$ (ii) ..

Exponential MatrixDefinition 1. For $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$, the exponential matrix of $A$ is defined by $$e^A = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!} = I + \frac{A}{1!} + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} + \cdots$$Theorem 1. For $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$, $e^A$ is well-defined.Proof. Put $M = \max_{i, j} \{ |a_{ij}| \}$ where $a_{ij} = [A_{ij}]$. Note that $$[A^2]_{ij} \le \begi..

Double SequenceDefinition 29.1. A (real) double sequence is a function from $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ into $\mathbb{R}$. The image of a double sequence a at a point $(m, n)$ is denoted $a_{m,n}$. We will denote a double sequence as $\{a_{m,n}\}$. A double sequence $\{a_{m,n}\}$ may be alternatively described as an infinite matrix $$\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1, 2} & a_{1, 3} & \cdots \\ a..