
Stirling's Formula

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Physics/Thermal Physics
Stirling's Formula$$\ln n! \approx n \ln n - n + \frac{1}{2} \ln 2 \pi n$$우변의 마지막 항인 $\frac{1}{2} \ln 2 \pi n$은 상황에 따라 생략해도 큰 오차를 낳지 않는다. 열물리학에서는 $N >>> 1$인 상황, 다시 말해 고려하는 입자의 개수가 아보가드로 수 $N_A$ 정도로 큰 경우를 다루고, 각 입자가 가지는 state를 카운팅하는 상황이 자주 등장한다. 때문에 combinatorial한 계산을 주로 하고, 이때 매우 큰 숫자의 팩토리얼 연산을 매번 하기란 쉽지 않기 때문에 위의 스털링 공식을 활용하여 근사하곤 한다. 스털링 공식을 "직관적으로" 증명해보자. 좌표평면에 함수 $y = \ln x$를 그리면 다음과 같다.이때..