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다음과 같은 2계 선형 동차 미분방정식이 있다고 하자. $$\ddot{x}+b\dot{x}+kx = 0$$ 이때 함수 $x = e^{rt}$가 이 방정식을 만족함이 알려져 있고, 대입하여 정리하면 다음과 같다. $$e^{rt}(r^2 + br + k) = 0$$ 따라서 $r^2+br+k = 0$이고, 이 방정식을 풀어서 $r$값을 결정해주면 될 것이다. 이때 이러한 방정식을 auxiliary equation이라고 부른다. Auxiliary equation이 중근을 가지지 않는 한 $r$은 두 개의 값이 나오므로 함수 $x = e^{rt}$는 두 개의 형태를 가지는데, 미분은 선형 연산자이므로 두 형태의 선형 결합이 최종적인 미분방정식의 일반해이다.  $r^2+br+k = 0$을 근의 공식을 사용하여 풀어..

주어진 행렬을 LU decomposition을 한 뒤 $L$과 $U$ 행렬 각각의 inverse를 구하면 역행렬을 빠르게 구할 수 있다. 이때 triangular matrix의 inverse를 빠르게 계산하는 방법을 소개하려고 한다. 예컨대 다음과 같은 상삼각 행렬의 역행렬을 계산해 보자. $$U = \begin{pmatrix} 3 & 6 & 8 \\ 0 & 4 & 7 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$  이때 각각의 성분에 대해서 따로따로 생각해 보자. Gauss elimination을 생각하면 역행렬의 대각 성분은 원행렬의 대각 성분의 역수가 된다. $$U^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & * & * \\ 0 & \frac{1}{4} & * \\ 0 & ..

Temperature전체 에너지가 $E$로 고정되고 volume과 the nubmer of particles이 고정된 thermodynamic system이 있고, 이 system을 정확히 절반으로 나누어서 각각 $E_1$과 $E_2$의 에너지를 가지고 thermal contact 중에 있어서 열을 교환할 수 있는 independent한 두 개의 계로 구분하자. 이러한 energy distinction의 가정은 충분히 정당화될 수 있다. Thermodynamic limit를 고려할 때 우리는 에너지와 같은 물리량을 extensive variable로 정의할 수 있었다. 즉 system의 size에 dependent한 변수다. 만약 쌍성계와 같이, 중력에 의해 강력하게 interaction하는 system..

Central Limit Theorem$N$이 매우 크다고 가정할 때, 서로 독립인 $N$개의 random variable $X_i$에 대해서 $Y = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i$로 정의하자. 각 변수는 동일한 분포를 따르고(어떤 분포인지는 중요하지 않다) fat tail를 가지지 않는, 즉 충분히 빠르게 decay한다고 가정한다. 이런 경우 $Y$의 분포는 정규분포로 근사됨을 보장해주는 정리가 central limit theorem, 중심 극한 정리이다.  위와 같이 정의한 $Y$는 $N$개의 확률 변수 $X_i$들의 산술 평균이다. 각 확률 변수들을 동일한 분포에서 랜덤하게 추출했으므로 평균과 표준편차는 모두 같을 것이고, 이를 각각 $\langle X \rangle$, $\s..

Rotation2 dimesion Cartesian coordinate에 점 $(x, y)$가 주어졌다고 하자. 이때 기존 좌표계를 원점을 기준으로 반시계 방향으로 $\theta$만큼 회전했을 때 기존 점의 좌표와 변경된 점의 좌표 $(x', y')$는 다음의 관계식을 통해 기술된다. $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ 이때 $$S = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta &..

Cross ProductDefinition 1. Let $A, B$ be vectors. The cross product of $A$ and $B$ is defined as $A \times B = (|A||B| \sin \theta) \hat{\mathbf{e}}_c$ where $\hat{\mathbf{e}}_c$ is the unit vector to be perpendicular to the plane of $A$ and $B$, such that $A, B$, and $C$ form a right-handed system.Remark. Let $A, B \in \mathbb{R}^3$. Then $$C_i = \sum_{j, k} \varepsilon_{ijk} A_j B_k$$ equivale..

Microstates and Macrostates앞, 뒤가 나올 확률이 동일한 공정한 동전 100개가 있고, 이 동전 100개를 상자 안에 넣고 흔든 뒤 앞뒤의 분포가 어떤지 확인한다고 하자. 이때 이 분포를 counting하는 두 가지 방법이 있다. 하나는 앞면이 총 몇 개, 뒷면이 총 몇 개인지 헤아려서 앞뒷면의 개수로 분포를 얘기하는 방법이고, 다른 하나는 실제로 각 동전 하나하나가 어떤 면을 가리키는지 그 configuration을 전부 헤아려서 가능한 모든 경우의 수로 분포를 얘기하는 방법이다. 이때 전자를 주어진 system의 macrostate, 후자를 microstate이라고 부른다.  기체의 경우로 생각해보자. 우선 기체가 매우 많은 숫자의 building blocks, 예컨대 collo..

부피가 $V$로 고정된 어떤 box안에 $N$개의 particle들이 들어있다. 각 particle은 독립적으로 거동하며 ideal gas을 가정한다. 이때 가상적으로 $V'$의 볼륨을 가지는 mini box를 만들자. 입자들은 자유롭게 box안을 드나들 수 있고, $V'$의 부피를 가지는 영역에 있을 수도 있고, 그 밖에 있을 수도 있다. 이때 $N$개의 particle들이 모두 이 mini box 안에 들어있을 확률은 얼마일까?  자명하게 $\frac{V'}{V}$이다. 그렇다면 $k$개의 입자가 $V'$ 상자에 들어있을 확률은 무엇일까? 각각은 mini box에 들어있냐, 들어있지 않냐의 결괏값을 가지므로 binomial distribution으로 생각할 수 있고, 그 확률은 $$\binom{N}{..

[을유 문화사에서 도서를 제공받아 작성한 글입니다.] 나는 고등학교 시절 수학이 너무나 싫어서 수학과에 진학했다. 고등학교 수학 교과서는 대부분의 경우 어떠한 수학적 사실을 증명 없이 소개한 뒤 곧바로 이를 적용하는 문제를 풀게 한다. 나는 이런 교과서의 서술 방식이 매우 마음에 들지 않았다. 물론 거대한 지식의 바다 앞에서 지적 유아에 가까운 한낱 고등학생에게 엄-밀한 증명을 들이밀기가 쉽지 않은 형편도 알고 있지만, 그럼에도 불구하고 현 교과서는 학생들에게 직관적으로라도 이해시키려는 일말의 노력조차 그 흔적을 찾을 수 없다. 또한 현실을 모델링하여 직접 문제를 탐구하고 해결하려는 방향의 교육은 전무하다고 해도 과언이 아니다. 대부분의 자연과학, 공학 분야에서 수학을 이용하는 방식이 모델링과 수치적으로..

Random Walk금요일 저녁, 오늘도 대학가는 한 주간의 노고를 달래기 위해 몰려온 대학생들로 가득하다. 이때 잔뜩 취한 듯한 우리의 관측 대상이 한 가게에서 발견되었다! 관측 대상은 종잡을 수 없는 움직임으로 비틀대며 길가를 활보한다. 이때 일정 시간이 지나고 특정 지점에 우리의 관측 대상이 발견될 확률은 얼마나 될까?  가게의 위치를 원점으로 잡고, 관측 대상은 원점에서 출발해 $x$축 위에서 움직인다고 하자. 우리는 $x$축을 discretize하여서 단위 길이를 $l$로 둘 것이다. 즉 관측 대상은 '한 번' 움직일 때 $l$만큼 이동할 수 있다. 그리고 관측 대상은 $-l$만큼 움직일 것인지, $+l$만큼 움직일 것인지 반반의 확률로 판단을 한다고 가정하자. 즉 각 case를 선택할 확률은 ..