Lagrange Interpolation Formula

Lagrange Interpolation Formula

Lagrange Interpolation Formula, 즉 라그랑주 보간법이라고 불리는 이 방법은 주어진 $(n+1)$개의 점들을 모두 지나는 $n$차 이하의 다항식을 유일하게 결정하는 방법이다. 

Lagrange Polynomial

Definition 1. Let $c_0, \cdots, c_n$ be distinct scalars in an infinite field $F$. The lagrange polynomials $f_0, \cdots, f_n$ is defined by $$f_i(x) = \prod_{0 \leq k \neq i \leq n} \frac{x - c_k}{c_i - c_k} \text{ for } 0 \leq i \leq n.$$

Remark

Remark. For each $i, j (0 \leq i, j \leq n)$,
(a) $f_i(x) \in P_n(F)$.
(b) $f_i(c_j) = \delta_{ij}$.

Theorem 1

Theorem 1. $\beta = \{f_0, \cdots, f_n\}$ is a basis for $P_n(F)$ where each $f_i$ is the lagrange polynomial, and $\forall g \in P_n(F)$, $$g = \sum_{i=0}^n g(c_i)f_i.$$

Proof. Suppose that $a_0f_0 + \cdots + a_nf_n = 0$ for some $a_i \in F$. Then $(a_0f_0 + \cdots + a_nf_n)(c_j) = a_jf_j(c_j) = a_j = 0$ for each $j (0 \leq j \leq n)$. Thus $\beta$ is linearly independent.
Since $\dim(P_n(F)) = n+1$, $\beta$ is a basis for $P_n(F)$ by Corollary 3 - 2.  
Let $g \in P_n(F)$. Suppose that $g = \sum_{i=0}^n b_if_i$. Then $g(c_j) = b_jf_j(c_j) = b_j$ for each $j (0 \leq j \leq n)$. Thus $g = \sum_{i=0}^n g(c_i)f_i$. $\blacksquare$

    다시 말해 임의의 서로 다른 점들이 주어질 때, 이 점들을 모두 지나는 다항식을 항상 유일하게 결정할 수 있다는 것이 라그랑주 보간법의 결론이다.