이 포스트에서 $V, W$는 모두 유한차원 $F$-벡터공간으로 취급한다.Ordered basisDefinition 1. An ordered basis for $V$ is a basis for $V$ endowed with a specific order. 기저에 순서를 부여한 것을 ordered basis, 순서기저라고 부른다. 즉 순서기저로 생각하면 $\{e_1, e_2, e_3\} \neq \{e_2, e_1, e_3\}$이다. Coordinate vectorDefinition 2. Let $\beta = \{v_1, ..., v_n\}$ be an ordered basis for V. We define the coordinate vector of $x$ relative to $\beta$, de..
이 포스트에서 $V, W$는 모두 $F$-벡터공간으로 취급한다. The nullity and rank Definition 2. Let $T \in \mathcal{L}(V, W)$. If $N(T)$ and $R(T)$ are finite-dimensional, then we define (1) the nullity of $T$, denoted nullity($T$) := dim($N(T)$), (2) the rank of $T$, denoted rank($T$) := dim($R(T)$). $N(I_V) = \{\mathbf{0}\}, R(I_V) = V$, 그리고 $N(T_0) = V, R(T_0) = \{\mathbf{0}\}$ 임을 생각해 볼 때, 직관적으로 nullity가 클수록 rank는 작아..
이 포스트에서 $V, W$는 모두 $F$-벡터공간으로 취급한다. The null space and range Definition 1. Let $T \in \mathcal{L}(V, W)$. (a) The null space (or kernel) $N(T)$ of $T$ is the set $N(T) = \{ x \in V \,|\, T(x) = \mathbf{0} \}.$ (b) The range (or image) $R(T)$ of $T$ is the set $R(T) = \{ T(x) \in W \,|\, x \in V \}$. Theorem 1 Theorem 1. Let $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Then $N(T) \leq V$ and $R(T) \leq W$. Proof. ..
이 포스트에서 $V, W$는 모두 $F$-벡터공간으로 취급한다. Linear Transformation Definition 1. We call a function $T : V \rightarrow W$ a linear transformation from $V$ to $W$ if, $\forall x, y \in V$ and $c \in F$, we have (a) $T(x + y) = T(x) + T(y)$ and (b) $T(cx) = cT(x)$. 어떤 함수가 linear transformation이라는 것을 줄여서 linear라고 말하기도 한다. Linear Operater Definition 2. We call $T$ a linear operator on $V$ if $T$ is a linear ..
Definition Definition. Let $x_1, x_2 \in$ an interval $I$ such that $x_1 f(x_2). $$ Theorem Theorem. Let $f: I \longrightarrow \mathbb{R}$ be a differentiable function on $I$. Then for $\forall x \in I$, $$f'(x) > 0 \Longrightarrow f \text{ is incre..
