Definitions 1. $$\text{sinh} x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \qquad \text{csch} x = \frac{1}{\text{sinh} x} \\ \text{cosh} x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \qquad \text{sech} x = \frac{1}{\text{cosh} x} \\ \text{tanh} x = \frac{\text{sinh} x}{\text{cosh} x} \qquad \text{coth} x = \frac{\text{cosh} x}{\text{sinh} x}$$ 중심이 원점이고 반지름이 1인 원, 즉 단위원이 좌표평면 상에 있을 때 직각삼각형을 만들어서 각도에 따라 값이 변하는 cos, sin 값을 이용해 원 위의 점을 ..
이 포스트에서 $V, W$는 모두 $F$-벡터공간으로 취급한다. Coset Definition 1. Let $W \leq V$. $\forall v \in V$, the set $\{v\} + W := \{v + w \,|\, w \in W\}$ is called the coset of $W$ containing $v$. It is customary to denote this coset by $v + W$ rather than $\{v\} + W$. Theorem 1 Theorem 1. Let $W \leq V$, and let $v + W$ be a coset of $W$ containing $v$. (a) $v + W \leq V \Longleftrightarrow v \in W.$ (b) Let $..
Maximal Definition 1. Let $\mathcal{F}$ be a family of sets. A member $M$ of $\mathcal{F}$ is called maximal if $M$ is contained in no member of $\mathcal{F}$ other than $M$ itself. 말 그대로 포함 관계에 있어서 가장 최상위에 있는 원소를 maximal 이라고 한다. 예컨대 어떤 집합의 power set에서 그 집합은 자명하게 maximal element 이다. Chain Definition 2. A collection of sets $\mathcal{C}$ is called a chain (or nest or tower) if for each pair of se..
Definition 1 Definition 1. (a) An $m \times n$ matrix with entries from a field $F$ is a rectangular array of the form $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$$ where each entry $a_{ij}\, (1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n)$ is an element of $F$. (b) The entries $a_{ij..
Basis Definition 1. A basis $\beta$ for $V$ is a linearly independent subset of $V$ such that = $V$. generating set은 해당 벡터 공간의 정보를 알려주는 집합이고, 이때 최대한 그 크기를 줄인 집합이 linearly independent set이었다. 즉 두 조건을 모두 만족시키는 집합이야말로 벡터 공간을 다루기에 가장 좋은 집합이므로, 기저라는 이름으로 정의한다. Remark Remark. (a) A basis can be infinite. (b) Since = $\{\mathbf{0}\}$ and $\emptyset$ is linearly independent, $\emptyset$ is a basis for $..
