이 포스트에서 $V$는 $F$-벡터공간으로 취급한다. Inner Product Definition 1. An inner product on $V$ is a function $\langle \cdot, \cdot \rangle: V \times V \longrightarrow F$, such that $\forall x, y, z \in V$ and $\forall c \in F$, the following hold: (a) $\langle x + z, y \rangle = \langle x, y \rangle + \langle z, y \rangle$. (b) $\langle cx, y \rangle = c \langle x, y \rangle$. (c) $\overline{ \langle x, y \r..
The Cayley-Hamilton Theorem Theorem 1. (The Cayley-Hamilton Theorem) Let $T \in \mathcal{L}(V)$, and let $f(t)$ be the characteristic polynomial of $T$. (V is finite-dimensional) Then $f(T) = T_0$, the zero transformation. Proof. We need to show that $f(T)(v) = \mathbf{0}, \forall v \in V$. If $v = \mathbf{0}$, it is clear. Suppose that $v \neq \mathbf{0}$. Let $W$ be the $T$-cyclic subspace of ..
The Cyclic Subspace Definition 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$, and let a nonzero vector $x \in V$. The subspace $W = $ is called the $T$-cyclic subspace of $V$ generated by $x$. Theorem 1 Theorem 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$, and let $W$ be the $T$-cyclic subspace of $V$ generated by $\mathbf{0} \neq x \in V$. Then (a) $W$ is $T$-invariant. (b) Any $T$-invariant subspace of $V$ containing $x$ al..
The Invariant Subspace Definition 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$. Then $W \leq V$ is called a $T$-invariant subspace of $V$ if $T(W) \subseteq W$. $W$의 image가 다시 $W$에 포함될 때 $W$를 $T$-불변 부분공간이라고 부른다. 자명하게 $\{\mathbf{0}\}, V, R(T), N(T), E_{\lambda}$는 $T$-불변 부분공간임을 알 수 있다. The restriction of a Linear Operator Definition 2. Let $T \in \mathcal{L}(V)$, and let $W$ be a $T$-invariant subspace of $V$. T..
어떤 선형 연산자 $T$가 주어졌을 때 대각화가능한지 결정하고, 가능하다면 대각화하도록 고유벡터들로 이루어진 기저 $\beta$를 찾는 것이 우리의 목표이다. $T$의 고유값은 특성 다항식 $f(t) = \det (T - tI)$를 풀어서 구할 수 있다. 만약 이를 통해 서로 다른 고유값 $\lambda_1, ..., \lambda_k$를 구했을 때, 이 고유값들에 대응되는 고유벡터들은 $v \in E_{\lambda}$을 이용해서 구할 수 있다. 이제 이 고유벡터들로 기저를 구성해야 하고, 그 방법을 아래의 정리들이 제시해준다. Theorem 1 Theorem 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$, and let $\lambda_1, ..., \lambda_k$ be distinct e..
