Determinant of a Linear Operator

    이 포스트에서 $V$는 유한차원 $F$-벡터공간으로 취급한다.

Determinant of a Linear Operator

Definition 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$. We define the determinant of $T$, denoted $\det(T)$, to be $\det(T) = \det([T]_{\beta})$, where $\beta$ is an ordered basis for $V$. 

    선형 연산자 $T$의 행렬 표현의 행렬식으로 $T$의 행렬식을 정의할 수 있다. 이러한 정의는 $V$의 기저의 선택에 의존하지 않는다.

Let $\beta, \gamma$ be ordered bases for $V$. By Theorem 2, we have $[T]_{\gamma} = Q^{-1}[T]_{\beta}Q,$ where $Q = [I_V]_{\gamma}^{\beta}$. Then $\det([T]_{\gamma}) = \det(Q^{-1}[T]_{\beta}Q) = \det(Q^{-1})\det([T]_{\beta})\det(Q) = \det([T]_{\beta})$.

    또한 행렬의 행렬식에서 성립했던 성질들이 마찬가지로 성립한다는 것을 알 수 있다.

Theorem 1

Theorem 1. Let $T, U \in \mathcal{L}(V)$, and let $\beta$ be an ordered basis for $V$. Then the followings hold:
(a) $T$ is invertible $\Longleftrightarrow$ $\det(T) \neq 0$. Furthermore, if $T$ is invertible, then $\det(T^{-1}) = \frac{1}{[\det(T)]}$.
(b) $\det(TU) = \det(T) \cdot \det(U)$.
(c) $\det(T^t) = \det(T)$.