Mathematics/Probability

Conditional ProbabilityDefinition 1. Let $E$ and $F$ be events. We define the conditional probability that $E$ occurs given that $F$ has occurred, denoted by $P(E | F)$, by $$P(E | F) = \frac{P(EF)}{P(F)}$$ if $P(F) > 0$.사건 $F$가 먼저 일어났다는 가정 하에 $E$가 일어나는 확률을 위와 같은 방법으로 정의한다. 이때 sample space를 $F$로 한정 지을 수 있고, $F$와 동시에 $E$가 일어나야 하므로 위와 같은 정의는 합리적이다. 위 식에서 양변에 $P(F)$를 곱함으로써 $$P(EF) = P(F)P(E | F)$$ 로..

Axioms of ProbabilityLet $E \subset S$ be an event. Then we call the function $P : E \rightarrow \mathbb{R}$, following below conditions, the probability. (1) $$0 \leq P(E) \leq 1$$ (2) $$P(S) = 1$$ (3) For any sequence of mutually exclusive events $E_1, E_2, ...$, $$P(\bigcup_{i=1}^{\infty} E_i) = \sum_{i=1}^{\infty} P(E_i)$$ 통계적인 의미에서 확률은 relatvie frequency, 상대 빈도수의 관점에서 정의되었다. 즉, sample space가 $..

Union and IntersectionDefinition 1. For any events $E, F$, we define the union of $E$ and $F$ by $E \cup F$. Similarly, the intersection of $E$ and $F$ is defined as $EF = E \cap F$. 두 사건 $E, F$가 있을 때 이 사건 둘 중 하나가 혹은 둘 다 일어나는 사건을 union, 합사건이라고 하고, 둘 다 일어나는 사건을 intersection, 곱사건이라고 부른다. 숫자를 늘려서 다음과 같이 무한합, 무한곱도 정의할 수 있다. Definition 2. Let $E_1, E_2, ...$ be events. We define the union of these ev..

Sample SpaceDefinition 1. Sample space is the set of all possible outcomes of an experiment, and is usually denoted by $S$.모든 시행에서 나올 수 있는 결과값을 모아놓은 집합을 sample space, 표본 공간이라고 부른다.  EventDefinition 2. Any subset $E$ of the sample space is called an event. In other words, an event is a set consisting of possible outcomes of the experiment. If the outcome of the experiment is contained in $E$, the..

The Basic Principle of CountingThe Basic Principle of Counting. If an experiment consisting of two phases is such that there are $n$ possible outcomes of phase 1 and, for each of these $n$ outcomes, there are $m$ possible outcomes of phase 2, then there are $nm$ possible outcomes of the experiment. '곱의 법칙'으로 흔히들 배우는 내용이다. 첫 번째에서 $n$개의 케이스가 나오고, 각 케이스에 대해서 두 번째에는 $m$개의 케이스가 존재한다면 총 $nm$개의 케이스가 존재..

모집단과 표본Definition 1. 모집단(Population)이란 연구자가 그 특성에 대해 조사하고자 하는 모든 원소들의 집합이며, 표본(sample)이란 조사를 위해 모집단에서 취해진 일부 원소들의 집합이다. 즉 표본은 모집단의 부분집합의 관계에 있다. 이러한 표본에서 모집단의 특성을 가능한 한 근접하게 나타내는 표본을 '대표표본(Representative Sample)'이라고 한다. 또한 모집단의 각 원소가 표본으로 채택될 확률이 주어진 상태에서 표본을 택한 경우, 이 표본을 '랜덤표본(Random Sample)'이라 하고, 만약 각 원소가 표본으로 채택될 확률이 동일한 경우, 이를 '단순랜덤표본(Simple Random Sample)'이라고 한다.전수조사와 표본조사Definition 2. 모집단..