Curvature
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Mathematics/Calculus
우리는 주어진 곡선 C가 얼마나 휘어있는지를 측정하고자 한다. 직관적으로 생각해보면 같은 원이라고 하더라도 반지름이 클수록 원은 국소적으로 덜 휘어있고, 반지름이 작을수록 더 휘어있다고 말할 수 있다. 그렇다면 이러한 곡선의 휜 정도를 나타내는 값, 즉 곡률을 어떤 곡선의 방정식이 주어졌을 때 어떤 방식으로 정의할 수 있을까? 한 가지 떠올릴 수 있는 방법은 tangent vector를 이용한 방법이다. 곡선의 tangent vector, 즉 속도는 곡선의 진행 방향과 평행한 접선 벡터인데, 곡선이 많이 휘어있다면 이동경로가 많이 뒤틀린다는 뜻이고 그만큼 tangent vector의 변화량이 크다는 뜻이다. 이는 곡률을 tangent vector의 변화량으로 측정할 수 있음을 시사한다. 이 값은 물리..
Divergence Theorem
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Mathematics/Calculus
Divergence TheoremTheorem 1. Let F be a vector field whose components have continuous first partial derivatives, and let S be a piecewise smooth oriented closed surface. The flux of F across S in the direction of the surface’s outward unit normal field n equals the triple integral of the divergence F over the region D enclosed by the..
Stokes's Theorem
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Mathematics/Calculus
Stokes's Theorem Theorem 1. Let S be a piecewise smooth oriented surface having a piecewise smooth boundary curve C. Let F=M,N,P be a vector field whose components have continuous first partial derivatives on an open region containing S. Then the circulation of F around C in the direction counterclockwise with respect to the surface’s un..
Surface Integral
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Mathematics/Calculus
Surface Integral of Scalar FunctionsLine integral이 임의의 곡선 위에서 함수를 적분하는 것이었다면, 이를 확장하여 임의의 surface 위에서 함수를 적분해보자. Scalar function G(x,y,z)와 smooth한 곡면 S가 있을 때, Suv 평면의 region R에서 좌표 공간으로의 transformation인 r(u,v)=f(u,v),g(u,v),h(u,v)에 의해 parametrization된다. S의 area를 구했을 때와 같이, R을 잘게 쪼갠 piece에 대응되는 S 위의 patch의 넓이를 Δσuv라고 하면 tangen..
Parametrization of Surfaces
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Mathematics/Calculus
Parametrization of SurfacesDefinition 1. Suppose r(u,v)=f(u,v),g(u,v),h(u,v) is a continuous vector function that is defined on a region R in the uv-plane and one-to-one on the interior of R. We call the range of r the surface S defined or traced by r. The vector function together with the domain R constitutes a parametrization o..
Spherical Coordinates
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Mathematics/Calculus
Spherical CoordinatesDefinition 1. Spherical coordinates represent a point P in space by ordered triples (r,θ,ϕ) in which r0 and 0ϕπ.위 그림과는 다른 기호를 사용하였다. r은 원점에서부터의 거리, θ는 원점과 점 P를 이은 선분과 z 축이 이루는 각도, ϕ는 cylindrical coordinates에서와 동일하게 x 축과 선분 OPxy 평면에 정사영한 선분이 이루는 각도이다.  마찬가지로 구 좌표계는 cartesian coordinates와 자유롭게 변환이 가능하다. $(x, y,..
Cylindrical Coordinates
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Mathematics/Calculus
Cylindrical CoordinatesDefinition 1. Cylindrical coordinates represent a point P in space by ordered triples (ρ,ϕ,z) in which r0. 단순히 polar coordinates에다가 z 성분만 추가한 3차원 좌표계이다. 위 그림에는 (r,θ,z)로 나타냈지만 생새우초밥집 저자의 주장을 받아들여 (ρ,ϕ,z)로 쓰도록 하자.  원통 좌표계는 좌표공간에서 cartesian coordinates과 자유롭게 변환할 수 있다. (x,y,z)(ρcosϕ,ρsinϕ,z)로 바꿀 수 있으며, 반대로 $(..
Polar Coordinates
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Mathematics/Calculus
Polar Coordinates좌표평면 상의 점들을 x,y축으로 나타내는 cartesian coordinates와는 달리 원점으로부터의 거리 r과 initial ray, 즉 시초선으로부터의 각도 θ로 나타내는 좌표계를 polar coordinates, 극 좌표계라고 부른다.주기성으로 인해 극 좌표계 위의 임의의 한 점을 표현하는 좌표는 무수히 많을 수 있다. 예컨대 P(2,6/π)를 나타내는 점은 (2,π6+2nπ) or (2,5π6+2nπ)(n=,±1,±2,...)으로 무수히 많다.  데카르트 좌표계와 극 좌표계는 서로 자유롭게 변환될..
Green's Theorem
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Mathematics/Calculus
Green's TheoremTheorem 1. Let C be a piecewise smooth, simple closed curve enclosing a region R in the plane. Let F(x,y)=M(x,y),N(x,y) be a vector field with M and N having continuous first partial derivatives in an open region containing R. Then the counterclockwise circulation of F around C equals the double integral of $(\nabla \times \m..
Curl and Divergence
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Mathematics/Calculus
Curl물과 같은 유체가 어떤 평면 위에서 흐르고 있는 물리적인 상황을 상상해보자. 이때 위치에 따른 유체의 속도를 나타내는 벡터장을 F(x,y)라고 하자. 이때 평면 상의 어떤 점에서 유체가 어느 방향으로 얼마나 회전하고 있는지 그 정도를 나타내는 물리량을 측정하려고 한다. 우선 다음과 같이 주어진 작은 rectangular region A를 고려하자.A는 임의의 점 (x,y)를 꼭짓점으로 하고 각 변의 길이를 Δx,Δy로 갖는다. 구하고자 하는 물리량은 면적의 테두리와 counterclockwise한 방향을 갖는 사각형 모양 closed curve에서의 circulation으로부터 얻을 수 있다고 생각할 수 있다. 따라서 circulatio..