1-Variable Taylor SeriesRemark. (1-Variable Taylor Series) Let $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ be a $k$-times differentiable function, and let $x_0 \in \mathbb{R}$. Then $$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 \\ + \cdots + \frac{f^{(k-1)}(x_0)}{(k-1)!}(x-x_0)^{(k-1)} + \frac{f^{(k)}(x'_0)}{k!},$$ where $x'_0 \in (x_0, x)$.Let $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ and let $p,..

우리는 주어진 곡선 $C$가 얼마나 휘어있는지를 측정하고자 한다. 직관적으로 생각해보면 같은 원이라고 하더라도 반지름이 클수록 원은 국소적으로 덜 휘어있고, 반지름이 작을수록 더 휘어있다고 말할 수 있다. 그렇다면 이러한 곡선의 휜 정도를 나타내는 값, 즉 곡률을 어떤 곡선의 방정식이 주어졌을 때 어떤 방식으로 정의할 수 있을까? 한 가지 떠올릴 수 있는 방법은 tangent vector를 이용한 방법이다. 곡선의 tangent vector, 즉 속도는 곡선의 진행 방향과 평행한 접선 벡터인데, 곡선이 많이 휘어있다면 이동경로가 많이 뒤틀린다는 뜻이고 그만큼 tangent vector의 변화량이 크다는 뜻이다. 이는 곡률을 tangent vector의 변화량으로 측정할 수 있음을 시사한다. 이 값은 물리..

Divergence TheoremTheorem 1. Let $\mathbf{F}$ be a vector field whose components have continuous first partial derivatives, and let $S$ be a piecewise smooth oriented closed surface. The flux of $\mathbf{F}$ across $S$ in the direction of the surface’s outward unit normal field $\mathbf{n}$ equals the triple integral of the divergence $\nabla \cdot \mathbf{F}$ over the region $D$ enclosed by the..

Stokes's Theorem Theorem 1. Let $S$ be a piecewise smooth oriented surface having a piecewise smooth boundary curve $C$. Let $\mathbf{F} = \langle M, N, P \rangle$ be a vector field whose components have continuous first partial derivatives on an open region containing $S$. Then the circulation of $\mathbf{F}$ around $\mathbf{C}$ in the direction counterclockwise with respect to the surface’s un..

Surface Integral of Scalar FunctionsLine integral이 임의의 곡선 위에서 함수를 적분하는 것이었다면, 이를 확장하여 임의의 surface 위에서 함수를 적분해보자. Scalar function $G(x, y, z)$와 smooth한 곡면 $S$가 있을 때, $S$는 $uv$ 평면의 region $R$에서 좌표 공간으로의 transformation인 $\mathbf{r}(u, v) = \langle f(u, v), g(u, v), h(u, v) \rangle$에 의해 parametrization된다. $S$의 area를 구했을 때와 같이, $R$을 잘게 쪼갠 piece에 대응되는 $S$ 위의 patch의 넓이를 $\Delta \sigma_{uv}$라고 하면 tangen..

Parametrization of SurfacesDefinition 1. Suppose $\mathbf{r}(u, v) = \langle f(u, v), g(u, v), h(u, v) \rangle$ is a continuous vector function that is defined on a region $R$ in the $uv$-plane and one-to-one on the interior of $R$. We call the range of $\mathbf{r}$ the surface $S$ defined or traced by $\mathbf{r}$. The vector function together with the domain $R$ constitutes a parametrization o..

Spherical CoordinatesDefinition 1. Spherical coordinates represent a point $P$ in space by ordered triples $(r, \theta, \phi)$ in which $r \geq 0$ and $0 \leq \phi \leq \pi$.위 그림과는 다른 기호를 사용하였다. $r$은 원점에서부터의 거리, $\theta$는 원점과 점 $P$를 이은 선분과 $z$ 축이 이루는 각도, $\phi$는 cylindrical coordinates에서와 동일하게 $x$ 축과 선분 $OP$를 $xy$ 평면에 정사영한 선분이 이루는 각도이다.  마찬가지로 구 좌표계는 cartesian coordinates와 자유롭게 변환이 가능하다. $(x, y,..

Cylindrical CoordinatesDefinition 1. Cylindrical coordinates represent a point $P$ in space by ordered triples $(\rho, \phi, z)$ in which $r \geq 0$. 단순히 polar coordinates에다가 $z$ 성분만 추가한 3차원 좌표계이다. 위 그림에는 $(r, \theta, z)$로 나타냈지만 생새우초밥집 저자의 주장을 받아들여 $(\rho, \phi, z)$로 쓰도록 하자.  원통 좌표계는 좌표공간에서 cartesian coordinates과 자유롭게 변환할 수 있다. $(x, y, z)$는 $(\rho \cos \phi, \rho \sin \phi, z)$로 바꿀 수 있으며, 반대로 $(..

Polar Coordinates좌표평면 상의 점들을 $x, y$축으로 나타내는 cartesian coordinates와는 달리 원점으로부터의 거리 $r$과 initial ray, 즉 시초선으로부터의 각도 $\theta$로 나타내는 좌표계를 polar coordinates, 극 좌표계라고 부른다.주기성으로 인해 극 좌표계 위의 임의의 한 점을 표현하는 좌표는 무수히 많을 수 있다. 예컨대 $P(2, 6 / \pi)$를 나타내는 점은 $$(2, \frac{\pi}{6} + 2n\pi) \quad \text{  or  } \quad (-2, - \frac{5 \pi}{6} + 2n\pi) (n = -, \pm 1, \pm 2, ...)$$으로 무수히 많다.  데카르트 좌표계와 극 좌표계는 서로 자유롭게 변환될..

Green's TheoremTheorem 1. Let $C$ be a piecewise smooth, simple closed curve enclosing a region $R$ in the plane. Let $\mathbf{F}(x, y) = \langle M(x, y), N(x, y) \rangle$ be a vector field with $M$ and $N$ having continuous first partial derivatives in an open region containing $R$. Then the counterclockwise circulation of $\mathbf{F}$ around $C$ equals the double integral of $(\nabla \times \m..

Curl물과 같은 유체가 어떤 평면 위에서 흐르고 있는 물리적인 상황을 상상해보자. 이때 위치에 따른 유체의 속도를 나타내는 벡터장을 $\mathbf{F}(x, y)$라고 하자. 이때 평면 상의 어떤 점에서 유체가 어느 방향으로 얼마나 회전하고 있는지 그 정도를 나타내는 물리량을 측정하려고 한다. 우선 다음과 같이 주어진 작은 rectangular region $A$를 고려하자.$A$는 임의의 점 $(x, y)$를 꼭짓점으로 하고 각 변의 길이를 $\Delta x, \Delta y$로 갖는다. 구하고자 하는 물리량은 면적의 테두리와 counterclockwise한 방향을 갖는 사각형 모양 closed curve에서의 circulation으로부터 얻을 수 있다고 생각할 수 있다. 따라서 circulatio..

Simply Connected RegionDefinition 1. Let $D$ be an open region. (1) $D$ is connected if any two points in $D$ can be joined by a smooth curve that lies in the region.(2) $D$ is simply connected if every loop in $D$ can be contracted to a point in $D$ without every leaving $D$.말 그대로, 영역 $D$ 안에 임의의 두 점이 그 영역 안에 포함된 곡선에 의해 연결될 수 있다면 $D$는 connected region이다. 만약 $D$가 겹치치 않는 두 disk이고 각 disk에서 한 점씩 뽑아보..

Fundamental Theorem of Line IntegralTheorem 1. Let $C$ be a smooth curve joining the point $A$ to the point $B$ in the plane or in space and parametrized by $\mathbf{r}(t)$. Let $f$ be a differentiable function with a continuous gradient vector $\mathbf{F} = \nabla f$ on a domain $D$ containing $C$. Then $$\int_C \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} = f(B) - f(A).$$Proof. Suppose that $\mathbf{r}(t) = ..

Path IndependenceDefinition 1. Let $\mathbf{F}$ be a vector field defined on an open region $D$ in space, and suppose that for any two points $A$ and $B$ in $D$ the line integral $\int_C \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}$ along a path $C$ from $A$ to $B$ in $D$ is the same over all paths from $A$ to $B$. Then the integral $\int_C \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}$ is path independent in $D$ and the fiel..

CirculationDefinition 1. If $\mathbf{r}(t)$ parametrizes a smooth curve $C$ in the domain of a continuous velocity field $\mathbf{F}$, the flow along the curve from $A = \mathbf{r}(a)$ to $B = \mathbf{r}(b)$ is $$\int_C \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}.$$ If the curve starts and ends at the same point, so that $A = B$, the flow is called the circulation around the curve.$A = B$인 경우, 즉 $$\oint_C \ma..

Directional derivative를 도입하여 미분의 방향을 굳이 $x, y$축으로 한정할 필요가 없었듯이, 적분 또한 $x, y, z$에 대해서만이 아니라 일반적인 곡선 위에서 정의할 수 있다. 함수 $f(x, y)$가 $\mathbb{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle (a \leq t \leq b)$ 위에서 정의된다고 하자. 늘 그래왔던 것처럼 $C$를 $n$조각으로 짤라 partition을 구성하고, 각 piece의 길이를 $\Delta s_k$라 하자. 각 piece에서 임의로 point들을 추출하여 Riemann sum을 구성하면 $$\sum_{k=1}^n f(x_k, y_k) \Delta s_k$$이고, $n$의 크기를 무한히 증가시킬 때 partition의 ..

Double integral에서 substitution rule을 다뤄보자. 기존에 $xy$ 평면에서 나타내진 함수 $f(x, y)$를 $uv$ 평면에서 나타내고자 한다. Single variable에서 $x=g(u)$로 두면 $dx = g'(u) du$가 성립했었다. 즉 $x$에서 $u$로 변수를 바꾸기 위해서는 일종의 '보정 상수'의 역할을 하는 $g'(u)$와 같은 것이 double integral에서도 존재할 것이라 예측할 수 있다. 실제로 그러한 factor가 존재하고 Jacobian이라고 부른다.JacobianDefinition 1. The Jacobian determinant or Jacobian of the coordinate transformation $x = g(u, v), y = h(..

Triple Integral일변수 함수의 definite integral, double integral과 다를 바 없다. 마찬가지로 rectangular region $D$를 (box 형태가 된다) $x, y, z$ 축으로 잘게 쪼개 partition을 구성하고 가장 작은 모서리를 norm으로 정의한 뒤 함수 $F(x, y, z)$의 Riemann sum을 정의한다. 이때 $k$번째 부피 조각은 $\Delta V_k = \Delta x_k \Delta y_k \Delta z_k$가 된다. 그리고 norm이 0으로 가는 극한을 취해준 뒤 partition과 point에 무관하게 극한값이 존재하면 integrable하다고 말하고, $$\iiint_D F(x, y, z) dV$$라고 쓴다.  마찬가지로 reg..

Wallis's IntegralTheorem. $$ \begin{align} &(1) \quad I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n x dx = \frac{n-1}{n} I_{n-2} \\ &(2) \quad I_m = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^m x dx = \frac{m-1}{m} I_{m-2}. \end{align} $$Proof. By the integration by parts, we have $$I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n-1} x \cdot \sin x dx \\ = \left[ \sin^{n-1} x (- \cos x)..

Double IntegralTwo-variable function의 definite ingetral을 다뤄보자. Single variable에서 정의한 definite integral과 별반 다를 건 없다. 다만 변수가 두 개가 되었으므로 partition이라든지, norm이라든지 하는 대상을 조금 확장하여서 정의하고 이를 기반으로 Riemann sum과 그 극한으로 double integral을 정의한다. 함수 $z = f(x, y)$가 있다. 일변수에서는 interval을 잘게 쪼갰다면, 이제는 rectangular region을 $x, y$축으로 잘게 쪼갠다. 이렇게 잘게 쪼갠 piece들은 어떻게든 numbering하여 모은 집합을 partition $P$이라고 하고, 이 piece들의 가로, 세..

Introduction 다변수함수의 극값을 찾기 위한 방법 중 하나로 second derivative test가 있었다. 그런데 만약 함수의 domain이 명시적으로 주어진 것이 아닌, 예컨대 어떤 방정식 $g(x, y, z) = 0$으로 표현되는 "구속조건(constraint)"으로 주어진다면 test를 적용하기가 쉽지 않다. 물론 어찌어찌 parametrize하여 명시적으로 구할 수도 있겠지만, 대게 쉽지 않다. 때문에 구속조건 자체를 활용하여 극값을 구하는 방법이 필요한데 그 결과가 바로 Lagrange multiplier, 라그랑주 승수법이다. 2차원으로 한정지어서 생각해보자. 다음 그림과 같이 구속조건 $g(x, y) = c$ ($h(x, y) = g(x, y) - c$ $= 0$으로도 정의할 ..

Local Maximum and MinimumDefinition 1. Let $f(x, y)$ be defined on a region $R$ containing the point $(a, b)$. Then 1. $f(a, b)$ is a local maximum value of $f$ if $f(a, b) \geq f(x, y)$ for all domain points $(x, y)$ in an open disk centered at $(a, b)$. 2. $f(a, b)$ is a local minimum value of $f$ if $f(a, b) \leq f(x, y)$ for all domain points $(x, y)$ in an open disk centered at $(a, b)$. Si..

Tangent PlaneDefinition 1. The tangent plane to the level surface $f(x, y, z) = c$ of a differentiable function $f$ at a point $P_0$ where the gradient is not zero is the plane through $P_0$ normal to $\nabla f |_{P_0}$. The normal line of the surface at $P_0$ is the line through $P_0$ parallel to $\nabla f |_{P_0}$. 위와 같이 정의되는 tangent plane, 즉 접평면은 정의에 따라 다음과 같이 계산되고, normal line도 마찬가지다. $$\nab..

Directional DerivativeDefinition 1. The derivative of $f$ at $P_0 (x_0, y_0)$ in the direction of the unit vector $\mathbb{u} = u_1 \mathbb{i} + u_2 \mathbb{j}$ is the number $$\left( \frac{df}{ds} \right)_{\mathbb{u}, P_0} = \lim_{s \to 0} \frac{f(x_0 + su_1, y_0 + su_2) - f(x_0, y_0)}{s},$$ provided the limit exists. It is also denoted by $$D_{\mathbb{u}}f(P_0) \text{  or  } D_{\mathbb{u}}f \b..

Theorem 1Theorem 1. Suppose that $F(x, y)$ is differentiable and that the equation $F(x, y) = 0$ defines $y$ as a differentiable function of $x$. Then at any point where $\partial_y F \neq 0,$ $$\frac{dy}{dx} = - \frac{\partial_x F}{\partial_y F}.$$Proof. Since $F(x, y) = 0$, the derivative $\frac{dF}{dx}$ must be zero. By the Chain Rule, we find $$0 = \frac{dF}{dx} = \frac{\partial F}{\partial ..

Theorem 1Theorem 1. If $w=f(x, y)$ is differentiable and if $x = x(t), y=y(t)$ are differentiable functions of $t$, then the composition $w=f(x(t), y(t))$ is a differentiable function of $t$ and $$\frac{dw}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt}.$$Proof. Let $\Delta x, \Delta y$ and $\Delta w$ be the increments that result from changing $t..

Partial DerivativeDefinition 1. The partial derivative of $f(x, y)$ with respect to $x$ at the point $(x_0, y_0)$ is $$\frac{\partial f}{\partial x} \Bigg|_{(x_0, y_0)} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h},$$ provided the limit exists. The partial derivative with respect to $y$ is defined in the same way.특정 변수를 상수로 취급하고 한 변수만 다룬다는 의미에서 편미분이라고 말한다. 기호로는 $\frac{\partial f}{\par..

Vector Fields and Scalar FunctionsDefinition 1. Let $D \subset \mathbb{R}^m$ for $m \in \mathbb{N}$. Then(1) A scalar function on a domain set $D$ is a function $f: D \rightarrow \mathbb{R}$. (2) A vector-valued function, or vector function, or vector field on $D$ is a function $\textbf{f}: D \rightarrow \mathbb{R}^n$ defined by $\textbf{f}(\textbf{x}) = (f_1(\textbf{x}), f_2(\textbf{x}), \cdots..

Curve Definition 1. We call the vector function $\textbf{r}: (a, b) \rightarrow \mathbb{R}^3$ a curve. We can parametrize curves by $\textbf{r}(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle$ where $t \in (a, b)$. Velocity, Speed, Unit Tangent VectorDefinition 2. Let $\textbf{r}$ be a curve. Then(1) $\textbf{v}(t) = \frac{d \textbf{r}}{dt}$ is the velocity vector or the tangent vector of $\textbf{r}$,(2)..

CylindersDefinition 1. A cylinder is a surface that is generated by moving a straight line along a given planar curve while holding the line parallel to a given fixed line. The curve is called a generating curve for the cylinder. In solid geometry, where cylinder means circular cylinder, the generating curves are circles, but now we allow generating curves of any kind.RemarkRemark. any curve $f(..