대칭 팽이의 자유운동오일러 방정식을 이용해 위 그림과 같이 $x_3$축에 대칭이며 각속도 벡터 $\omega$를 가지고 회전하는 팽이의 회전 운동을 기술해보자. 중력과 마찰이 없다고 가정하면 팽이는 외력 없이 회전 운동을 유지하고 있다. 따라서 외력이 없는 경우의 오일러 방정식을 적용할 수 있다. 좌표축은 관성 주축에 대응되도록 잡았다고 가정하고 운동의 특성상 $I_1 = I_2 \neq I_3$라고 둘 수 있다. 그러면 오일러 방정식은 다음과 같다. $$\begin{align*} & I_3 \dot \omega_3 = 0 \\ & (I_1 - I_3) \omega_2 \omega_3 - I_1 \omega_1 = 0 \\ & (I_3 - I_1) \omega_3 \omega_1 - I_1 \dot \o..

외력이 없는 경우의 오일러 방정식관성 텐서와 오일러 각등을 통해 회전하는 강체의 여러 물리량들과 회전 운동을 행렬로 기술할 수 있음을 확인했다. 이제 회전하는 강체에 대한 운동 방정식인 오일러 방정식을 유도해보자. 우선 관성 주축에 각 축이 대응되도록 좌표계를 잡고 외력이 없다고 가정한다. 즉 퍼텐셜은 없다고 둘 수 있고 라그랑지안은 $$\mathcal{L} = \frac{1}{2} \sum_i I_i \omega^2_i$$으로 주어진다. 오일러 각에 의한 일반화 좌표계 $(\phi, \theta, \psi)$에 대해 라그랑주 방정식과 체인 룰을 적용하면 $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} - \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathc..

오일러 각관성 텐서와 같은 물리량을 도입함으로 회전하는 강체의 운동에너지나 각운동량과 같은 물리량들을 행렬곱으로 나타낼 수 있음을 살펴보았다. 더 나아가 고정된 관성계 $X'$와 회전하는 강체의 좌표계 $X$는 회전변환 $\lambda$에 의해 $X = \lambda X'$의 관계를 가지며, 따라서 회전하는 강체의 운동 자체를 행렬곱으로 기술할 수 있음을 알 수 있다. 오일러 각이란 강체의 회전을 나타내기 위해 회전변환에 사용되는 각들을 의미한다. 3차원 고정계의 변환을 다루기 때문에 3개의 각도가 필요하다. 변환 전 고정계의 축을 $(x_1', x_2', x_3')$이라고 하자. 우선 $x_3'$축을 중심으로 반시계방향으로 $\phi$만큼 회전한다. 회전 후 좌표축을 $(x_1'', x_2'', ..

관성 텐서$n$개의 입자로 구성된 강체가 병진운동과 회전운동을 동시에 한다고 해보자. 이때 질량중심에 대하여 병진운동과 회전운동을 분리해서 서술하는 방법이 편리하다. 계의 선운동량은 질량중심의 선운동량과 같고, 계의 총 각운동량은 원점에 대한 질량중심의 각운동량과 질량중심에 대한 계의 각운동량으로 표현된다. 따라서 어떤 고정된 관성계에 대해서 $V$의 속도로 질량중심이 등속운동을 하고, 질량중심을 원점으로 하는 좌표계에서 계의 각 입자가 $ \omega $의 각속도로 회전하는 것으로 강체의 운동을 분석할 수 있다. 질량중심에 대한 각 입자의 위치벡터를 $r_{\alpha}$, 속도벡터를 $v_{\alpha}$라고 두면 $$v_{\alpha} = V + \omega \times r_{\alpha}$$..

러더퍼드 산란 단면적아주 좁은 폭의 입자빔이 축에 평행한 방향으로 날아오고 있고 한편에는 어떤 입자들이 뭉쳐 있어서 날아오는 입자빔에 척력을 가하는 작은 공간 영역이 있다고 하자. 입자가 이 공간에 접근하게 되면 척력에 의해 공간 상으로 일정 각도를 가진 채 산란될텐데, 이때 입자가 산란될 수 있는 총 단면적을 구해보자. $s$를 축으로부터 입자빔의 반경이라고 할 때 입자가 $ds$ 만큼의 폭을 가지고 날아간다고 하자. 이때 처음에 입자가 날아가는 면적은 $2\pi s ds$이다. 이때 $\sigma(\theta)$를 입자빔이 공간 상에서 입체각 $\Omega$ 만큼 산란될 때 갖는 면적의 분포함수라고 하자. 그러면 $$| 2 \pi s ds| = |\sigma(\theta) d \Omega| = ..

중심력이 작용하는 입자계의 운동방정식중심력이 작용하며 환산질량 $\mu$를 가지는 두 입자로 구성된 입자계를 고려하자. 두 입자가 어떤 점을 중심으로 회전한다고 할 때 환산질량에 대한 라그랑지안은 다음과 같다. $$\mathcal{L} = \frac{1}{2}\mu (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2) - U(r)$$ $r$은 두 입자 사이의 거리이며 $U$는 퍼텐셜이다. 중심력이 작용하는 경우 계의 각운동량 $\ell$은 보존된다. $$p_{\theta} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}} = \mu r^2 \dot{\theta} = \ell = \text{const.}$$ 입자의 운동방정식을 구해보자. 마찰이 없다..

환산질량Definition 1. The reduced mass of two particles whose masses are $m_1$ and $m_2$ is defined by $$\mu = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}.$$중심력이 작용하는 두 점입자의 계를 고려하자. 각각 질량 $m_1, m_2$를 가지는 두 점입자는 어떤 고정된 원점에 대하여 위치벡터 $\mathbf{r_1}, \mathbf{r_2}$를 가진다. 두 입자의 질량중심의 위치벡터를 $\mathbf{R}$이라고 하면 $\mathbf{R} = \frac{m_1\mathbf{r_1} + m_2\mathbf{r_2}}{m_1+m_2}$로 표현된다. 이때 계의 라그랑지안은 다음과 같이 주어진다. $$\mathcal{L} = \frac..

에너지 보존 법칙에너지 보존 법칙을 라그랑주 방정식을 사용해 증명해보자. 우선 관성계에서는 시간이 균일하기 때문에 계의 라그랑지안이 시간에 의존하지 않는다. 따라서 $$\sum_j \dot{q}_j \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} = 2T$$이 성립한다. $$\frac{dL}{dt} = \sum_{j} \frac{\partial L}{\partial q_j}\frac{dq_j}{dt} + \sum_{j} \frac{\partial L}{\partial \dot q_j}\frac{d\dot q_j}{dt} = \sum_{j} \frac{\partial L}{\partial q_j}\dot q_j + \sum_{j} \frac{\partial L}{\partial \dot..

일반화 좌표계Definition 1. Suppose that there are $n$ 3D-particles. If there are $m$ equations of constraint, then $3n -m$ coordinates are independent, and the system is said to possess $s = 3n - m$ degrees of freedom. The generalized coordinate is a set of quantities that completely specifies the state of a system, denoted by $q_i$. A set of independent generalized coordinates whose number equals the..

어떤 입자의 움직임을 기술하기 위해, 만약 입자에 작용하는 힘이 주어져 있다면 그저 뉴턴의 운동 방정식 $\mathbf{F} = \dot{\mathbf{p}}$를 적용하기만 하면 됐었다. 그런데 이는 힘이 '잘' 주어져 있어야 가능한데, 예컨대 빗면이나 평면, 자유낙하와 같이 힘이 단순하게 주어지는 상황이라면 뉴턴 방정식은 매우 효과적이다. 반면 입자가 구면이나 구불구불한 경로를 따라 이동하는 경우 물체의 힘이 매 위치마다 바뀔 수 있고, 이 경우 뉴턴 법칙을 적용하기란 사실상 불가능하다. 이러한 경우 우리는 벡터량인 힘이 아니라 스칼라량인 에너지, 더 정확히는 '라그랑지안'(Lagrangian)의 관점에서 물체의 움직임을 기술하곤 한다. 이때 어떤 입자의 라그랑지안은 아래 기술될 '해밀턴의 원리'를 따..

$N$개의 서로 다른 equally probable microstates로 구성된 system이 있다고 하자. 이때 $n_i$개의 microstate가 하나의 $i$번째 macrostate에 대응된다. 즉 다음의 관계가 성립한다. $$\sum_{i} n_i = N, \quad p_i = \frac{n_i}{N}$$ 따라서 total macrostate는 microstate들의 조합 $(n_1, n_2, ...)$에 의해 결정된다. $$\Omega = \frac{N!}{ n_1! n_2! \cdots} \\ \Longrightarrow \ln \Omega = N \ln N - N - \sum_{i} (n_i \ln n_i - n_i) \\ = - \sum_i n_i \ln \left( \frac{1}{N}..

Calculus of Variations다음과 같은 함수 $J$를 고려하자. $$J = \int_{x_1}^{x_2} f\left( y(x), y'(x); x \right) \, dx$$ 즉 $J$는 구간이 $x_1 \sim x_2$로 고정되었지만, 그 안에 피적분함수가 결정되지 않은 적분으로 정의되는 함수이다. 이때 어떤 미분가능한 함수 $y$와 그 도함수 $y'$이 $J$의 변수이며, $y, y'$의 변수는 $x$이다. 이런 $y$들을 모아 놓은 집합에 적당한 연산을 주면 벡터 공간으로 취급할 수 있고, $J$의 값은 어떤 스칼라로 주어질 것이므로 $J$는 linear functional, 즉 범함수다. 이때 우리는 $J$가 어느 $y$를 대입할 때 극값을 가지는지 아는 것이 목표고, 그 방법..

구각 정리구각 정리란 밀도가 균일한 구가 공간 상의 특정 점에 만들어내는 중력을 계산한 내용이다. 이로 인해 지구의 중력을 쉽게 계산함으로써 여러 문제들을 해결할 수 있게 되었고, 이는 뉴턴의 업적 중 하나이다. 상황은 다음과 같다. 안쪽 반지름이 $b$, 바깥쪽 반지름이 $a$인 구 껍질이 중심으로부터 $R$만큼 떨어진 지점 $P$에 만들어내는 중력을 구해야 한다. 우리는 중력 퍼텐셜 $Phi$를 먼저 구한 다음 미분하여 중력을 구할 것이다.구 껍질 외부 구 껍질의 중력 퍼텐셜은 다음과 같이 주어진다. $$\Phi = -G \int_V \frac{\rho(\mathbf{r}')}{r} \, dv'$$ 이때 밀도 $\rho$는 거리에 관계 없이 항상 일정하므로 적분 바깥으로 뺄 수 있고, 구..

만유인력Newton's Law of Universal Gravitation. Each mass particle attracts every other particle in the universe with a force that varies directly as the product of the two masses and inversely as the square of the distance between them.뉴턴이 정리한 만유인력(중력) 법칙을 수학적으로 서술하면 다음과 같다. $$F = -G\frac{mM}{r^2}\hat{e_r}$$ 따라서 중력은 그 정의상 중심력이다. $G$는 중력 상수로, 그 값은 $6.674 \pm 0.010 \times 10^{-11} N \cdot m^2 / kg^2$으..

사인형 구동력이 조화 진동자에 작용하는 경우 푸리에 급수를 통해 일반해를 구할 수 있었다. 그런데 외력이 사인형이 아니고 일반적으로 주어지는 경우에도 일반해를 구할 수 있을까? 예컨대, 외력 $F(t)$에 대하여 운동방정식 $$\ddot{x} + 2\beta \dot{x} + w^2_0 x = \frac{F(t)}{m}$$을 항상 풀 수 있을까? 외력이 어떠한 형태이든, 특정 시점을 기준으로 그 전까지는 힘이 작용하지 않고 있다가 그 후에 힘이 작용하는 경우를 생각할 수 있다. 이를 Figure 1 (a)와 같이 나타내자. 이때 $\frac{F(t)}{m}$을 $H(t, t_0)$라는 함수로 나타내면 $H(t, t_0)$는 다음과 같다. $$H(t, t_0) = \begin{cases} 0, &..

Introduction감쇠진동에서 외력 $F$가 있을 때 운동방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다. $$\left( \frac{d^2}{dt^2} + a \frac{d}{dt} + b \right) x(t) = F(t) $$ 이때 연산자 $L$을 다음과 같이 정의하자. $$L := \frac{d^2}{dt^2} + a \frac{d}{dt} + b$$ 그러면 운동방정식은 다음과 같다. $$Lx(t) = F(t)$$ 이때 $L$은 linear이므로 외력 $F_1, ..., F_N$에 대해 $$Lx_1(t) = F_1(t), ..., Lx_N(t) = F_N(t)$$를 만족한다면 $$L \left( \sum_{n=1}^N \alpha_n x_n(t) \right) = \sum_{n=1}^N \alpha_n F_..

강제진동감쇠진동에서는 조화 진동자의 상황에서 속도에 비례하는 어떤 저항력이 있어서 점차 진폭이 작아지며 진동하거나, 빠른 시간 내에 평형점으로 수렴하는 경우를 살펴보았다. 그런데 저항력이 감소시키는 만큼 어떤 외력이 조화 진동자에 작용해서 저항력이 있음에도 불구하고 일정한 진폭을 유지한채 진동을 시키는 경우를 생각해 볼 수 있다. 이런 경우를 '강제진동'(forced oscillation)이라고 부르고, 그 중 외력이 사인형에 해당하는 사인형 구동력을 살펴보자. 이때 운동방정식은 다음과 같이 주어진다. $$m \ddot{x} = -b \dot{x} - kx + F_0 \cos wt \\ \Longrightarrow \ddot{x} + 2\beta \dot{x} + w^2_0 x = A \cos w..

훅의 법칙1차원 평면에서 용수철에 매달려서 마찰 없이 진동하는 입자를 생각하자. 이때 평형점을 원점으로 하고 용수철이 입자에 작용하는 복원력 $F$를 변위 $x$만의 함수라고 하자. 이때 테일러 전개에 의해 다음이 성립한다. $$F(x) = F_0 + x \frac{dF}{dx} + \frac{x^2}{2} \frac{d^2F}{dx^2} + \cdots$$ $F_0$는 원점, 즉 평형점에서의 힘이므로 $0$이라고 가정하고, 일차항을 제외한 나머지 항을 무시한다면 $F(x) = x \frac{dF}{dx}$로 쓸 수 있고, 이때 $$-k = \frac{dF}{dx}$$로 둔다면 $$F(x) = -kx$$를 얻고, 이렇게 표현되는 복원력으로 기술되는 물리계는 훅의 법칙(Hooke's Law)을 따른다고 말..

Conservation TheoremsConservation Theorems. (i) The total linear momentum $p$ of a particle is conserved when the total force on it is zero.(ii) The angular momentum of a particle subject to no torque is conserved.(iii) The total energy E of a particle in a conservative force field is a constant in time.물체에 작용하는 힘 $F$가 보존력(coservative force)이면 다음의 관계를 갖는 퍼텐셜 함수 $U$가 존재하고, 특별히 $U$를 퍼텐셜 에너지(potent..

Retarding Force일반 물리까지는 역학에서 공기 저항을 고려하지 않았다. 이제는 공기 저항까지 포함하여 물체의 궤도를 계산하려 한다. 공기 저항이라고 썼지만, 일반적으로 물체가 받는 저항력을 retarding force, 혹은 drag force라고 부른다. 공기 저항도 이 중 한 종류이다. 일반적으로 공기 저항은 물체가 이동하는 속도에 비례하여 증가한다고 알려져 있다. 즉 공간 상에서 중력이나 탄성력과 같은 특별한 외력을 받지 않은 채 속도 $\dot{x}$으로 이동하는 물체에 대해 작용하는 저항력은 뉴턴 2법칙에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다. $$\mathbf{F} = m\mathbf{\ddot{x}} = - mk\dot{x}^n \mathbf{\hat{\dot{x}}}$$ 이때 공..

Newton's LawNewton's Law. (i) A body remains at rest or in uniform motion unless acted upon by a force. (ii) A body acted upon by a force moves in such a manner that the time rate of change of momentum equals the force. (iii) If two bodies exert forces on each other, these forces are equal in magnitude and opposite in direction. 모든 고전적인 물체는 뉴턴의 세 가지 운동 법칙을 따른다. 그러나 위의 세 문장만으로는 조금 부족한 감이 있는데, 아래에..

Second-Order Linear Homogeneous ODE다음과 같은 2계 선형 동차 미분방정식이 있다고 하자. $$\ddot{x}+b\dot{x}+kx = 0$$ 이때 함수 $x(t) = e^{rt}$가 이 방정식을 만족함이 알려져 있고, 대입하여 정리하면 다음과 같다. $$e^{rt}(r^2 + br + k) = 0$$ 따라서 $r^2+br+k = 0$이고, 이 방정식을 풀어서 $r$값을 결정해 주면 될 것이다. 이때 이러한 방정식을 auxiliary equation이라고 부른다. Auxiliary equation이 중근을 가지지 않는 한 $r$은 두 개의 값이 나오므로 함수 $x = e^{rt}$는 두 개의 형태를 가지는데, 미분은 선형 연산자이므로 두 형태의 선형 결합이 최종적인 미분방정식의..

Thermodynamic potential을 정의하면서 언급했듯이, 일반적으로 엔트로피는 쉽게 측정되거나 조절될 수 있는 값이 아니다. 따라서 엔트로피를 변수로 가지는 내부 에너지나 엔탈피를 르장드르 변환하여서 헬름홀츠 자유 에너지나 깁스 자유 에너지를 얻었듯이 엔트로피와 관계된 편미분을 다른 값들로 변환할 수 있고, 이렇게 얻은 식들을 Maxwell's relation이라고 부른다. Exact differential을 갖는 함수 $f$는 $$df = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_y dx + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)_x dy$$와 같이 쓸 수 있고, $$df = F_x dx + F_y dy$$를 ..

Thermodynamic PotentialsInternal Energy Internal Energy. $$\begin{align*} U & = U(S, V) \\ dU & = TdS - P dV \\ \Longrightarrow T & = \left( \frac{\partial U}{\partial S} \right)_V \quad \text{ and } \quad P = - \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_S \end{align*}$$열역학 제 1법칙에 의해 다음이 성립한다. $$dU = TdS - P dV$$ 따라서 $U = U(S, V)$이고 이때 $S$와 $V$는 $U$의 natural variable이라고 불린다. Enthalpy엔탈피 $H$는 $..

Joule Expansion어떤 thermally isolated box가 있어서 전체 부피보다 작은 부피인 $V_1$에 $P_1$의 압력, $T_1$의 온도를 가지고 이상 기체가 모여 있다고 하자. 나머지 부피는 진공이다. 시간이 흘러서 기체가 박스 전체 부피에 고르게 퍼진다. 이 경우에서 기체가 한 일은 얼마일까? 답은 0이다. 이 과정에서는 기체가 무언가, 예컨대 실린더를 민다든지, 벽을 민다든지와 같은 움직이는 무언가가 없다. 일은 organized way로 displacement를 만들어내는 과정인데, 여기서는 displacement가 없다는 뜻이다. 반대로 일이 0이라는 말은 전체 내부 에너지 변화가 0이라는 뜻이다. 열적으로 고립된 상태이므로 열 출입도 없다. 이상 기체의 경우 내부 에너지..

Reversibility대부분 자연에서 일어나는 과정들은 irreversible, 즉 비가역적이다. 예컨대 이미 떨어뜨려서 깨져버린 달걀이 자연스레 다시 깨지기 전 상태로 돌아오기란 힘들고, 이미 작동되어서 열을 방출하고 있는 배터리가 자연스레 다시 열을 흡수하여 재충전되기란 힘들다. 때문에 reversible한 과정, 즉 가역적인 과정은 매우 추상적인 과정이지만 아이러니하게도 비가역적인 자연의 여러 과정들을 탐구하기 위해서 reversibility라는 추상적인 개념을 먼저 알아야 한다. 예컨대 실제 우리 우주는 평평한 시공간이 아니지만 국소적으로는 평평하다고 근사할 수 있고, 때문에 휘어진 공간의 기하학이 아니라 직선적인 공간의 기하학을 배우고 활용하게 된다. Reversibility 또한 비슷한 이유..

TensorA tensor of rank $n$ in a $d$-dimensional space란 1부터 $d$까지의 값을 가지는 $n$개의 인덱스로 주어지는 component들을 가지는 object다. 예를 들어 rank 2의 3차원 텐서 $A$는 인덱스가 $2$개이고, 각 인덱스는 1부터 3까지의 값을 갖는다. 따라서 $A_{ij} (1 \leq i, j \leq 3)$과 같이 표현될 수 있고, 이는 3 by 3 matrix의 개념과 동일하다. 이와 같이 기존의 object들을 텐서라는 개념으로 일반화시킬 수 있고, 예컨대 스칼라는 rank 0 텐서, 벡터는 rank 1 텐서, 행렬은 rank 2 텐서이다. Levi-Civita symbol 같은 경우 rank 3 텐서다. Contravariant, ..

Curvilinear Coordinates and Scale Factors공간 상의 어떤 점의 좌표가 Cartesian coordinates에서 $(x, y, z)$로 표현된다고 하자. 이때 다른 좌표계에서 이 점의 좌표를 표현했을 때 일반적으로 좌표가 어떻게 얻어지는지 구하고자 한다. 우선 어느 좌표계든 orthogonal하다고 가정한다. 즉 각 좌표계의 단위벡터들은 서로 perpendicular하다. 바꾸고자 하는 좌표계가 $(q_1, q_2, q_3)$로 기술된다고 할 때, $x, y, z$는 각각 $q_1, q_2, q_3$의 함수로 표현된다고 가정하자. $\mathbf{r} = x\mathbf{\hat{x}} + y \mathbf{\hat{y}} + z \mathbf{\hat{z}}$라고 할 ..

GradientCartesian coordinate $\mathbb{R}^3$의 position vector를 $\mathbb{r} = x_1 \mathbf{\hat{e_1}} + x_2 \mathbf{\hat{e_2}} + x_3 \mathbf{\hat{e_3}}$이라 하자. 스칼라 함수 $\varphi : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$에 대하여 그 differential은 $$d \varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial \varphi}{\partial x_2} dx_2 + \frac{\partial \varphi}{\partial x_3} dx_3$$으로 주어진다. 이때 $$\nabla \varp..

Maxwell-Boltzmann DistributionMaxwell-Boltzmann Distribution은 이상 기체를 구성하는 입자의 speed의 확률 분포이다. 즉 이상 기체를 이루는 입자의 속도의 크기, 즉 속력 $v$를 random variable로 두자. 이때 ideal gas는 부피가 0이고 입자간 interaction이 없으므로 완벽하게 random하게 움직인다고 볼 수 있고, 따라서 속도의 방향은 모두 equally probable하다고 가정할 수 있다. 이때 주어진 온도 하에서 속도의 크기의 확률 분포를 알아보자는 것이다. $v$는 continuous하므로 속력이 $v \sim v + dv$라는 구간에서 주어질 확률은 $P(v) dv$로 주어진다. 이때 $x$ 성분만을 고려해서 생각..