Ordered SetDefinition 1. An order $relation with the following two properties:(1) If $x \in S$ and $y \in S$, then one and only one of the statements $$x(2) $S$ is transitive.We call $S$ an ordered set if an order is defined in $S$.BoundedDefinition 2. Suppose $S$ is an ordered set, and $E \subset S$. (1) If there exists a $\beta \in S$ such that $x \leq \beta, \forall x \in E$, we say that $E$ ..

SequenceDefinition 1. A sequence is a function whose domain is $\mathbb{N}$.고등학교에서는 수열을 '수의 나열'이라고 정의하곤 하는데, 정의에 의하면 꼭 '수'를 나열한 것만이 수열이 될 필요는 없다. 수가 아닌 함수나 다른 대상도 가능하다. Bounded SequenceDefinition 2. A sequence $\{ a_n \}$ is said to be bounded if its range is bounded. That is, there exists a number $M > 0$ such that $|a_n| \geq M$ for all $n \in \mathbb{N}$.Monotonic SequenceDefinition 3. A sequ..

Theorem 1. A set $O$ is open $\iff$ $O^c$ is closed. Likewise, a set $F$ is closed $\iff$ $F^c$ is open.Proof. $(\Longrightarrow)$ $O$가 open이라고 하자. $x$를 $O^c$의 limit point라고 하면, $x$의 어떤 근방을 가지고 와도 항상 $O^c$와 겹치는 부분이 존재하므로 $x \in O^c$이다. ($\because$ 만약 $x \in O$이면 $x$의 어떤 근방이든 항상 $O$에 완전히 포함되므로 $O^c$와 겹치는 부분이 생길 수 없다.) 따라서 $O^c$는 closed이다.$(\Longleftarrow)$ $O^c$가 closed라고 하자. $a \in O$를 가져온 뒤 $a$..

Closed Set, Derived SetDefinition 1. The derived set $A'$ of $A$ is the set of all limit points of $A$.Definition 2. A set $F \subseteq \mathbb{R}$ is closed if $F' \subseteq F$.보통 closed라면 open이 아닌 것을 정의하는 것이 직관적인 것 같은데, 두 개념은 상호 배타적이지 않다. 다시 말해 open이면서 동시에 closed인 집합도 존재하고, 반대로 open도 아니고 closed도 아닌 집합도 존재한다.  closed, 즉 '닫혀 있다'는 개념이 수학에서 보통 어떤 의미로 사용되는지 상기해 보자. 벡터 공간은 주어진 연산에 대해서 닫혀 있는데, 이는 벡터 ..

$\epsilon$-neighborhoodDefinition 1. Given $a \in \mathbb{R}$ and $\epsilon > 0$, the set $$V_{\epsilon}(a) = \{x \in \mathbb{R} \,|\, |x-a| $\epsilon$-neighborhood of $a$.$a$의 $\epsilon$-근방, 줄여서 근방은 주어진 점을 중심으로 일정 간격 내에 있는 점들의 집합이다. 직관적으로 1차원이라면 open interval, 2차원이라면 경계를 포함하지 않는 disk, 3차원이라면 표면을 포함하지 않는 ball을 생각하면 된다.Open SetDefinition 2. A set $O \subseteq \mathbb{R}$ is open if for all points..

Metric Definition 1. Given a nonempty set $X$, metric is a function $d: X \times X \rightarrow [0, \infty)$ such that $\forall x, y, z \in X$, the following hold: (a) $d(x, y) = 0 \Longleftrightarrow x = y$ (b) $d(x, y) = d(y, x)$ (c) $d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$ Then $(X, d)$ is called a metric space. 위와 같은 성질을 만족하는 함수 $d$를 metric, 즉 거리라고 부른다.

Euclidean SpaceDefinition 1. $\forall n \in \mathbb{N}$, let $$\mathbb{R}^n := \{ \textbf{x} \,|\, \textbf{x} = (x_1, ..., x_n) \, \text{where} \, x_i \in \mathbb{R} (i = 1, 2, ..., n)\}.$$ For $\textbf{x} = (x_1, ..., x_n)$ and $\textbf{y} = (y_1, ..., y_n) \in\mathbb{R}^n$, we define the coordinatewise operations: $$\textbf{x} + \textbf{y} = (x_1 + y_1, ..., x_n + y_n) \\ \alpha \textbf{x} = (..