53) 관측 가능량과 연산자, 기댓값 계속해서 설명하였듯이, 파동함수의 제곱은 특정 위치에서 입자를 발견할 확률밀도이므로 우리는 입자의 정확한 위치는 알 수 없으며, 단지 여러 번 측정함으로써 얻어진 평균값만 얻을 수 있을 뿐이다. 이 평균값을 '기댓값'(Expectation value)이라고 부르며, 위치, 운동량, 에너지와 같이 말 그대로 측정 혹은 관측 가능한 물리량들을 '관측 가능량'(Observable value)이라고 부른다. 관측 가능량의 기댓값을 구하는 과정에서 수학적으로 '연산자'(Operator)라는 함수가 도입된다. 예를 들어 위치의 기댓값 $$는 다음과 같이 계산된다. $$ = \frac{\int_{-\infty}^{\infty} x|\Psi(x, t)|^2 dx}{\int_{-\i..
52) 파동함수의 선형성 질문 5.2. 시간 의존 슈뢰딩거 방정식은 선형 2계 미분방정식이다. 함수의 선형성으로 인해, 슈뢰딩거 방정식에서 구한 해들의 선형 결합 역시 해가 됨을 보여라. 풀이. 시간 의존 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다. $$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + V\psi \cdots (\ast)$$ $\psi_1, \psi_2$가 각각 $(\ast)$의 해가 된다고 하자. 즉 다음이 성립한다. $$1) i\hbar \frac{\partial \psi_1}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^..
50) 파동함수의 물리적 의미 슈뢰딩거의 파동방정식과 그 해인 파동함수의 존재가 알려지자, 이에 대한 해석은 물리학자들 사이에서도 분분했다. 나열하면 다음과 같다. 1. 슈뢰딩거: 우선 슈뢰딩거 그 자신의 경우, 하나의 입자에 대응하는 물질파를 나타내는 파동함수의 제곱 $|\Psi(x, t)|^2$은 공간 상에 퍼져 있음을 확인했다. 따라서 보어-조머펠트 원자 모형처럼 전자의 궤도를 도입할 필요도 없으므로 양자도약의 문제도 해결된다. 그는 더이상 입자는 존재하지 않고, 원자 내의 전자는 파다발로 존재하기 때문에 방정식에 전하를 나타내는 부분이 있어야 한다고 생각하여 $|\Psi(x, t)|^2$은 전자의 '전하 밀도'를 의미한다고 해석했다. 그러나 전자와 같은 입자를 아예 파동으로만 해석해버리면 광전 효..
49) 슈뢰딩거 방정식의 탄생 에르빈 슈뢰딩거(Erwin Schrodinger)는 드브로이의 물질파 가설에 매료된 사람 중 한 명이었다. 그는 전자가 핵 주위에서 정상파로 존재한다는 이야기를 듣고, 정상파는 평면적인 것이 아닌 3차원적으로 존재해야 한다고 주장하기도 하였다. 그러면서 그는 파동성이 물질의 실체적 속성이고, 입자성은 단지 부수적 현상에 불과하다고 생각하였다. 모든 물리 현상들은 근본적으로 파동 현상이고, 따라서 물리학은 파동 현상들을 기술해야 한다는 것이다. 그는 이러한 자신의 생각을 바탕으로 유럽 곳곳에서 강연을 하였다. 1925년 말 슈뢰딩거는 '물질의 파동성에 대한 자연적 특징'이라는 제목의 강연을 하였는데, 이때 조머펠트의 제자인 디바이(P. Debye)와의 대화에서 물질파의 시공간..
47) 물질파의 거동 앞서 보어의 원자 모형은 전자가 핵 주위에서 특정 궤도만을 돌 수 있고, 각운동량이 양자화되어 있어서 전자는 정상 궤도를 유지한다는 가정을 해야만 했다. 때문에 왜 하필 전자가 이러한 거동을 보이는지에 대해서는 일절 설명할 수 없었고, 이는 양자도약과 더불어 당시의 원자모형의 문제점이었다. 그러나 1924년, 드브로이는 물질파 이론으로부터 보어의 원자 모형의 문제를 해결하게 된다. 드브로이의 생각은 이러하다. 자신의 물질파 이론에 의하면 전자 또한 파동의 성질을 가지는 물질파이고, 전자가 양자화된 각운동량을 가지고 특정 궤도를 유지하면서 운동한다는 것이 사실이라면, 전자가 '정상파'이어야 한다. 정상파는 단지 위아래로만 움직이고, 앞뒤로 진행하지 않는다. 즉 에너지나 운동량을 다른 ..
