49) 슈뢰딩거 방정식의 탄생
에르빈 슈뢰딩거(Erwin Schrodinger)는 드브로이의 물질파 가설에 매료된 사람 중 한 명이었다. 그는 전자가 핵 주위에서 정상파로 존재한다는 이야기를 듣고, 정상파는 평면적인 것이 아닌 3차원적으로 존재해야 한다고 주장하기도 하였다. 그러면서 그는 파동성이 물질의 실체적 속성이고, 입자성은 단지 부수적 현상에 불과하다고 생각하였다. 모든 물리 현상들은 근본적으로 파동 현상이고, 따라서 물리학은 파동 현상들을 기술해야 한다는 것이다.
그는 이러한 자신의 생각을 바탕으로 유럽 곳곳에서 강연을 하였다. 1925년 말 슈뢰딩거는 '물질의 파동성에 대한 자연적 특징'이라는 제목의 강연을 하였는데, 이때 조머펠트의 제자인 디바이(P. Debye)와의 대화에서 물질파의 시공간에서의 거동을 알려주는 파동방정식을 세워야 한다는 것을 깨닫는다. 이것이 오늘날 '슈뢰딩거 파동방정식'(Schrodinger wave equation)이라고 알려진 방정식의 모티베이션이 되었다. 이 파동방정식의 해를 '파동함수'(Wave function)라고 부른다.
48) 물질파와 파다발 에서도 다루었듯이, 고전적인 파동방정식의 해는
$$f(x, t) = Acos(kx - wt)$$로 얻어진다. 이때 오일러 공식
$$e^{i\theta} = \text{cos}\theta + i\text{sin}\theta$$를 이용하면
$$f(x, t) = \text{Re}(Ae^{i(kx - wt)})$$임을 알 수 있다. 이때 Re는 $\text{Re}(a + ib) = a$, 즉 복소수의 실수 부분을 의미한다. 즉 $f$는 $Ae^{i(kx - wt)}$의 실수 부분만 나타낸 것이므로,
$$\Psi(x, t) := Ae^{i(kx - wt)}$$으로 나타내자. 따라서 고전적인 파동방정식의 해를 복소 지수 함수로 확장하여 표현할 수 있다.
이때 $E = \hbar w, p = \hbar k$임을 상기하라. 따라서
$$\Psi(x, t) = Ae^{i(kx - wt)} = Ae^{\frac{i}{\hbar}(px - Et)}$$이 성립한다. 이 함수는 양자역학적 파동함수로, 총 에너지가 $E$이고 운동량이 $p$인 입자 하나가 공간 속에서 움직이는 모습을 나타낸다. 전 포스트에서도 언급했던 것처럼, 모든 입자는 파다발의 형태로 존재하므로 입자 하나에 대해서 식을 다루는 것은 문제가 있지만, 최종적으로 유도되는 슈뢰딩거 파동방정식의 형태는 동일하다는 것이 알려져 있다. 따라서 이 포스트에서는 수학적으로 더 간단하게 진행하기 위해 하나의 입자에 대해서 논의하도록 하겠다.
우선 위 함수를 위치, 즉 $x$에 대해서 두 번 미분한 함수와 시간 $t$에 대해서 한 번 미분한 함수에 대해서 각각 다음이 성립한다.
$$-\hbar^2 \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = -p^2 \Psi(x, t) \\ -\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \Psi}{\partial t} = E \Psi(x, t)$$ 이때 상대론적인 효과를 고려하지 않는 경우, 즉 $v <<< c$인 경우 입자의 총 에너지 $E$는 고전적으로
$$E = \frac{p^2}{2m} + V$$로 나타낼 수 있다. 이때 $V$는 퍼텐셜 에너지이다. 따라서
$$E \cdot \Psi = \frac{p^2}{2m} \cdot \Psi + V \cdot \Psi \\ \Longrightarrow -\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{p^2}{2m} \cdot \Psi + V \cdot \Psi \\ \Longrightarrow i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{1}{2m}(-\hbar^2 \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}) + V \cdot \Psi \\ \Longrightarrow \underline{i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + V\Psi(x, t)}$$이 성립하고, 마지막 식을 1차원 '시간 의존 슈뢰딩거 방정식'(Time dependent schrodinger equation)이라 부른다. 3차원으로 확장하면 다음과 같다.
$$\underline{i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = - \frac{\hbar}{2m} \nabla^2 \Psi(\mathbf{r}, t) + V\Psi(\mathbf{r}, t)}$$ 이때 $\nabla$는 라플라시안 연산자(Laplacian operator)이다.
특정 상황에서 입자의 퍼텐셜 함수 $V$가 주어지면 방정식을 풀어서 파동함수 $\Psi$를 얻을 수 있고, 파동함수를 통해 입자의 여러 정보들을 알 수 있다.
만약, 입자에 보존력(Conservative force)만 작용해서 퍼텐셜 함수 $V$가 오직 위치만의 함수라면 파동함수 $\Psi$는 위치만의 함수 $\psi(\mathbf{r})$과 시간만의 함수 $T(t)$의 곱
$$\Psi(\mathbf{r}, t) = \psi(\mathbf{r})T(t)$$으로 나타낼 수 있다는 것이 알려져 있다. 이를 '변수분리 방법'이라고 하고, 이 포스트에서 자세히 다루지는 않겠다.
아무튼 분리시킨 파동함수 $\Psi$를 3차원 시간 의존 슈뢰딩거 방정식에 대입하고 다시 $\Psi$로 나누어 정리하면 다음과 같다.
$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}(\psi(\mathbf{r})T(t)) = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 (\psi(\mathbf{r})T(t)) + V(\mathbf{r})(\psi(\mathbf{r})T(t)) \\ \Longrightarrow i\hbar \psi(\mathbf{r}) \frac{d T(t)}{dt} = -\frac{\hbar^2}{2m}T(t)\nabla^2 \psi(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r})\psi(\mathbf{r})T(t) \\ \Longrightarrow i\hbar \frac{1}{T(t)}\frac{dT(t)}{dt} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{\psi(\mathbf{r})} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r})$$ 이때 좌변은 오직 $t$의 함수이고, 우변은 $\mathbf{r}$의 함수이므로 양변은 모두 상수여야 한다. 이때 상수를 $E$라고 두자. 이때 좌변에 대해서
$$i\hbar \frac{1}{T(t)} \frac{d T(t)}{dt} = E \\ \Longrightarrow T(t) = C \cdot e^{-\frac{iE}{\hbar}t}$$이 성립한다.
또한 우변에 대해서
$$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{\psi(\mathbf{r})} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r}) = E \\ \Longrightarrow \underline{\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}) + (E - V(\mathbf{r})) \psi(\mathbf{r}) = 0}$$이 성립한다. 이때 마지막 식을 3차원 '시간 무관 슈뢰딩거 방정식'(Time independent schrodinger equation)이라고 부른다. 1차원에 관한 식은 생략하겠다.
따라서 시간 무관 슈뢰딩거 방정식을 풀어서 얻은 해 $\psi$를 파동함수 $\Psi$에 대입하면 다음과 같이 완전한 파동함수
$$\Psi(\mathbf{r}, t) = C \cdot \psi(\mathbf{r}) \cdot e^{-\frac{iE}{\hbar}t}$$를 얻는다. 즉 슈뢰딩거 방정식을 풀어서 특정 입자에 대한 파동함수를 얻으면 그 입자의 에너지라든지, 운동량과 같은 여러 정보들을 알 수 있게 된다.
한편, 파동함수 $\Psi$를 제곱하면 다음과 같다.
$$|\Psi(\mathbf{r}, t)|^2 = \Psi(\mathbf{r}, t) \cdot \bar{\Psi(\mathbf{r}, t)} \\ = A \cdot \psi(\mathbf{r}) \cdot e^{-\frac{iE}{\hbar}t} \cdot \bar{A} \cdot \bar{\psi(\mathbf{r})} \cdot e^{\frac{iE}{\hbar}t} = |A|^2 |\psi(\mathbf{r})|^2$$ 즉 파동함수를 제곱하면 시간항이 사라지게 되므로 시간에 관계없이 일정하다. 따라서 파동함수 $\Psi$를 '정상상태 파동함수'(Stationary wave function)라고 부른다.
다만 $\Psi$ 그 자체는 복소함수이기 때문에 물리적 의미는 없다. $\psi(\mathbf{r})$은 물질파의 공간적인 거동을 알려주며, 파동함수는 제곱을 해야 '확률밀도'로서 의미가 생긴다.
