52) 파동함수의 선형성
질문 5.2. 시간 의존 슈뢰딩거 방정식은 선형 2계 미분방정식이다. 함수의 선형성으로 인해, 슈뢰딩거 방정식에서 구한 해들의 선형 결합 역시 해가 됨을 보여라.
풀이.
시간 의존 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
$$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + V\psi \cdots (\ast)$$ $\psi_1, \psi_2$가 각각 $(\ast)$의 해가 된다고 하자. 즉 다음이 성립한다.
$$1) i\hbar \frac{\partial \psi_1}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi_1}{\partial x^2} + V\psi_1 \\ 2) i\hbar \frac{\partial \psi_2}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi_2}{\partial x^2} + V\psi_2$$이때 임의의 상수 $a_1, a_2$에 대하여
$$\psi = a_1\psi_1 + a_2\psi_2$$라고 두자.
$$i\hbar \frac{\partial (a_1\psi_1 + a_2\psi_2)}{\partial t} = i\hbar a_1 \frac{\partial \psi_1}{\partial t} + i\hbar a_2 \frac{\partial \psi_2}{\partial t} \\ = -\frac{\hbar^2}{2m} a_1 \frac{\partial^2 \psi_1}{\partial x^2} - \frac{\hbar^2}{2m} a_2 \frac{\partial^2 \psi_2}{\partial x^2} + Va_1\psi_1 + Va_2\psi_2 \\ = a_1(- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi_1}{\partial x^2} + V\psi_1) + a_2(- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi_2}{\partial x^2} + V\psi_2) \\ = - \frac{\hbar^2}{2m} a_1 \frac{\partial^2 \psi_1}{\partial x^2} + Va_1\psi_1 - \frac{\hbar^2}{2m} a_2 \frac{\partial^2 \psi_2}{\partial x^2} + Va_2\psi_2 \\ = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 (a_1\psi_1 + a_2\psi_2)}{\partial x^2} + V(a_1\psi_1 + a_2\psi_2)$$ 따라서 $\psi$ 또한 $(\ast)$의 해가 된다.
만일 임의의 자연수 $n$에 대해 $\psi_1, ..., \psi_n$이 모두 슈뢰딩거 방정식의 해라면, 임의의 스칼라 $a_1, ..., a_n$에 대하여 이 해들의 선형결합
$$\psi = \sum_{i=1}^{n} a_i\psi_n$$역시 슈뢰딩거 방정식의 해가 되며, 그 자체로 파다발이 된다. 이때 각각의 해들이 중첩되어 있는 상태라고 말하며, 각 계수 $a_i$는 해당하는 해의 상태로 발견될 상대적 확률을 의미한다. 해당하는 입자를 관측하는 순간 $n$개의 해 중 어느 하나의 상태로 결정되며, 이를 파동함수의 '붕괴'(Collapse)라고 부른다.