25) 중력장에서의 빛의 휨
앞 포스트에서 서술했듯이, 일반 상대성 이론은 질량체가 주변 시공간을 휘어지게 만들고 다른 물체들은 그 휘어진 시공간에서 측지선을 따라 이동한다는 것을 말해준다. 이때 빛 또한 예외가 아니며, 따라서 중력장에서 빛은 휘어진 궤도를 따라 이동하게 된다.
위의 그림과 같이 고립된 상자 안에 관찰자가 있고, 상자는 위쪽 방향으로 등가속 운동한다. 이때 상자 안으로 빛이 들어온다면, 빛의 입장에서는 직진하는 것이지만 상자는 위로 가속 운동하고 있으므로 상자 안의 관측자는 빛이 시간에 따라서
$$h = \frac{1}{2}at^2$$ 만큼의 거리를 이동하는 것으로 관측할 것이다.
비관성 좌표계에서 빛이 휜다면, 등가성의 원리에 따라 중력장이 작용하는 정지한 계에서도 동일하게 빛은 휘어야 한다. 이러한 빛이 중력에 의해 질량체 주변에서 휜다는 사실은 이후 실험적으로도 밝혀지게 된다.
26) 아인슈타인 중력장 방정식
일반 상대성 이론의 핵심이 되는 방정식 중 하나인 중력장 방정식을 간단하게 소개하고자 한다. 아인슈타인 중력장 방정식은
$$G_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}$$과 같이 정의되는 비선형 연립 편미분 방정식으로, 이때 좌변의 항은
$$G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - \frac{1}{2}g_{\mu \nu} R$$로 정의되는 아인슈타인 텐서(Einstein Tensor)이며, $G$는 중력 상수, $c$는 광속, $T_{\mu \nu}$는 스트레스 - 에너지 텐서(Stress - Energy Tensor)1, $R_{\mu \nu}$는 리치 곡률 텐서(Ricci Curvature Tensor), $R$은 리치 곡률 스칼라(Ricci Curvature Scalar)이며 $g_{\mu \nu}$는 계량 텐서(Metric Tensor)2이다. 간략히 설명하면, 중력장 방정식 자체는 광속으로 인한 효과로, 원인을 의미하며 아인슈타인 텐서 자체는 시공간과 관련되있어서 결과를 의미한다. 이 중력장 방정식을 푼다는 것은 $g_{\mu \nu}$, 즉 시공간에 대한 정보를 얻어내는 것이다.
중력장 방정식은 위에서도 언급했듯이, '비선형 연립 편미분 방정식'으로 해를 구하기 매우 어려운 방정식이다. 아인슈타인 역시 자신의 방정식을 온전히 풀지 못했다. 이러한 중력장 방정식은 슈바르츠실트(K. Schwarzschild)에 의해 온전히 풀렸는데, 이 역시 대전이 되지 않은 구대칭 질량체의 외부에서 $T_{\mu \nu}$=0이라고 가정한 특수한 가정 하에서 해결한 것이다. 이렇게 구한 해를 '슈바르츠실트 완전해'라고 부른다.
구면 좌표계로 나타낸 슈바르츠실트 완전해는 다음과 같다.
$$ds^2 = (1 - \frac{2GM}{c^2 r})^{-1} dr^2 + r^2 (d \theta^2 + \text{sin}^2 \theta d \phi ^2) - (1 - \frac{2GM}{c^2 r})c^2 dt^2$$ 우변의 첫째 항은 공간 변화를 나타내며, 둘째 항은 각도 변화를 나타내는데, 이때 각도는 중력의 영향을 받지 않는 것에 주목하라. 셋째 항은 시간 변화를 나타낸다. 좌변은 휘어진공간에서 두 점 사이의 거리를 구면좌표계로 나타낸 것이다. 이러한 슈바르츠실트 해에서 정의되는 슈바르츠실트 계량 텐서는
$$\begin{align*} g_{\mu \nu} = \begin{pmatrix} (1 - \frac{2GM}{c^2 r})^{-1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \text{sin}^2 \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -(1 - \frac{2GM}{c^2 r}) \end{pmatrix} \end{align*}$$로 정의된다.
