Vector and Scalar Functions

Vector Fields and Scalar Functions

Definition 1. Let $D \subset \mathbb{R}^m$ for $m \in \mathbb{N}$. Then
(1) A scalar function on a domain set $D$ is a function $f: D \rightarrow \mathbb{R}$. 
(2) A vector-valued function, or vector function, or vector field on $D$ is a function $\textbf{f}: D \rightarrow \mathbb{R}^n$ defined by $\textbf{f}(\textbf{x}) = (f_1(\textbf{x}), f_2(\textbf{x}), \cdots, f_n(\textbf{x}))$ for scalar functions $f_1, ..., f_n$ on $D$ for $\textbf{x} \in D$.

함수값이 스칼라, 여기서는 $\mathbb{R}$의 원소이면 scalar function, 함수값이 벡터, 여기서는 $\mathbb{R}^n (n > 1)$이면 vector function이라고 한다. 

Level Curve, Level Surface

Definition 2. The set of points in the plane where a function $f(x, y)$ has a constant value $f(x, y) = k$, that is, $\{(x, y) \in D \subseteq \mathbb{R}^2 \,|\, f(x, y) = k \}$ is called a level curve or level surface of $f$. 

2변수 함수의 경우 위와 같은 집합은 기하학적으로 curve로 기술될 수 있다. 주어진 변수는 2개이지만 $f(x, y) = k$라는 관계식으로 두 변수가 엮여 있으므로 사실상 위 집합을 결정하는 변수는 한 가지이다. 그 하나의 변수로 전체적으로는 순서쌍을 결정하니 curve라고 말할 수 있다. 그런데 $k$가 어떤 값이냐에 따라서 level curve는 singleton이 될 수도 있고, 아예 공집합이 될 수도 있다. 때문에 모든 level curve가 정말로 curve라고 주장하기에는 다소 무리가 있지만, 직관적으로는 그렇다는 말이다.

Limit and Continuity of Two-Variables Scalar Fields

Definition 3. We say that a function $f(x, y)$ approaches the limit $L$ as $(x, y)$ approaches $(x_0, y_0)$, and write $$\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = L$$ if, for every number $\varepsilon > 0$, there exists a corresponding number $\delta > 0$ such that for all $(x, y)$ in the domain of $f$, $$|f(x, y) - L| < \varepsilon \text{    whenever    } 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta.$$

Note. $$\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} x = x_0, \\ \lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} y = y_0, \\ \lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} k = k \\ (\text{for any number } k).$$

Definition 4. A function $f(x, y)$ is continuous at the point $(x_0, y_0)$ if 
(1) $f$ is defined at $(x_0, y_0)$,
(2) $\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y)$ exists,
(3) $\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = f(x_0, y_0)$.
A function is continuous if it is continuous at every point of its domain.

Two-variables 이상의 multi variable scalar function도 마찬가지의 방법으로 극한과 연속을 정의한다. 

Two-Path Test for Nonexistence of a Limit

If a function $f(x, y)$ has different limits along two different curve $C_1$ and $C_2$ in the domain of $f$ as $(x, y)$ approaches $(x_0, y_0)$, then $\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y)$ does not exist. 

Let $C_1(t)$ and $C_2(t)$ be vector equations for the curves $C_1$ and $C_2$ defined in the domain of $f$, and $\lim_{t \to t_0} C_1(t) = \lim_{t \to t_0} C_2(t) = (x_0, y_0)$. Then if $$\lim_{t \to t_0} f \circ C_1(t) = L_1 \neq L_2 = \lim_{t \to t_0} f \circ C_2(t),$$ $\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y)$ does not exist.

single variable에서는 방향이 좌, 우밖에 없었으므로 좌극한, 우극한만 고려하면 됐었다. 그러나 two-variable, 나아가 multi variable에서는 주어진 점에 여러 방향으로 접근할 수 있음을 유의해야 한다. 거꾸로 말하면 극한이 존재한다면 어떤 방향에서 접근해도 동일한 극한이 존재해야 한다는 뜻이다. 즉 서로 다른 두 방향에서 접근할 때 극한값이 다르다면 주어진 점에서 극한이 존재하지 않음을 증명할 수 있다. 

Example

Example. Calculate $$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{3x^2y}{x^2 + y^2}$$ if it exists.

Solution. We may guess that the limit exists and the value is $0$. We are going to check this by using the definition. 
Fix $\varepsilon > 0$. We want to show that $\exists \delta > 0$ such that $$\forall (x, y) \in D, 0 < |(x, y) - (0, 0)| < \delta \Longrightarrow |\frac{3x^2y}{x^2 + y^2} - 0| < \varepsilon.$$ Note that $$|\frac{3x^2y}{x^2 + y^2}| < |\frac{3x^2y}{x^2 + y^2} + \frac{3y^3}{x^2 + y^2}| = |\frac{3(x^2 + y^2)y}{x^2 + y^2}| = |3y| < 3\sqrt{x^2 + y^2}.$$ If we take $\delta = \frac{\varepsilon}{3}$, then $$|\frac{3x^2y}{x^2 + y^2}| < 3\sqrt{x^2 + y^2} < 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon$$ which is what we want to show. Thus $$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{3x^2y}{x^2 + y^2} = 0. \blacksquare$$

위 극한이 $0$으로 수렴할 것이라고 어떻게 예측할 수 있었을까? 그 답은 구하고자 하는 함수의 차수를 유심히 관찰함으로 얻어진다. 항상 적용될 수 있는 방법은 아니지만, 위 상황의 경우 $(x, y) \to (0, 0)$이고 분자의 차수(3)가 분모의 차수(2)보다 더 크다. 따라서 분자가 분모보다 더 빠르게 0으로 감소할 것이므로 $0$으로 수렴할 것이라고 짐작할 수 있다. 

Theorem 1

Theorem 1. If $f$ is continuous at $(x_0, y_0)$ and $g$ is a single-variable function continuous at $f(x_0 , y_0)$, then the composite function $h = g ∘ f$ defined by $h(x, y) = g(f(x, y))$ is continuous at $(x_0, y_0)$.