Physics/수리물리

Rotation2 dimesion Cartesian coordinate에 점 $(x, y)$가 주어졌다고 하자. 이때 기존 좌표계를 원점을 기준으로 반시계 방향으로 $\theta$만큼 회전했을 때 기존 점의 좌표와 변경된 점의 좌표 $(x', y')$는 다음의 관계식을 통해 기술된다. $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ 이때 $$S = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta &..

Cross ProductDefinition 1. Let $A, B$ be vectors. The cross product of $A$ and $B$ is defined as $A \times B = (|A||B| \sin \theta) \hat{\mathbf{e}}_c$ where $\hat{\mathbf{e}}_c$ is the unit vector to be perpendicular to the plane of $A$ and $B$, such that $A, B$, and $C$ form a right-handed system.Remark. Let $A, B \in \mathbb{R}^3$. Then $$C_i = \sum_{j, k} \varepsilon_{ijk} A_j B_k$$ equivale..

Definition 1. Let $A \in M_{n}(F)$. Then we define $$e^A = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} A^n, \\ \sin(A) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} A^{2n+1}, \\ \cos(A) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} A^{2n}.$$

두 행렬 $A, B \in M_{2}(\mathbb{R})$을 가져오자. 이때 $$A \otimes B = \begin{pmatrix} A_{11}B & A_{12} B \\ A_{21} B & A_{22} B \end{pmatrix}$$ 와 같이 정의되는 연산 $\otimes$를 direct product라고 부른다. 즉 위 예시에서 두 행렬의 direct 곱의 결과값은 $4 \times 4$ 행렬이다.

Invertible $n \times n$ matrix $A$의 determinant는 어떤 $i$에 대해 다음과 같이 주어진다. $$\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} A_{ij} \det(\widetilde{A_{ij}})$$ 각 $A_{ij}$를 variable로 선언한다면 $\det(A)$는 $A_{ij}$들로 이루어진 함수다. $x$를 $A_{ij}$들에 dependent하는 어떤 변수라고 한다면 $\det(A)$를 $x$에 대해 미분한 결과는 chain rule과 components of the inverse of a matrix를 구하는 공식에 의해 다음과 같이 얻어진다. $$\frac{d \det(A)}{dx} = \sum_{i, j} \frac{\partial \..

CommutatorDefinition 1. Let $A$ and $B$ be the square matrices with the same size. The commutator $[A, B]$ of $A$ and $B$ is defined by $[A, B] = AB - BA$.

PermutationDefinition 1. A permutation of a set $A$ is a function $\phi : A \rightarrow A$ that is bijective. Remark. Let denote the function composition $\sigma \circ \tau$ for permutations $\sigma$, $\tau$ by $\sigma \tau$. Then $\sigma \tau$ is bijective.임의의 자연수 $n$에 대해 집합 $A = \{ 1, 2, ..., n \}$가 주어져 있다. 이때 $A$의 permutation, 즉 치환은 각 자연수를 다른 자연수로 보내는 작용을 하는 함수이며, 한마디로 순서를 바꿔주는 함수이다. Symmetri..

Complex NumberDefinition 1. A complex number is an ordered pair of two real numbers, $(a, b)$. We define addition of two complex numbers $z_1 = (x_1, y_1), z_2 = (x_2, y_2)$ as $z_1 + z_2 = (x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$, and also define multiplication as $z_1z_2 = (x_1, y_1) \cdot (x_2, y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2, x_1y_2 + x_2y_1)$. Let Define $i$ by $i = (0, 1)$. Note that $i^2..

Binomial Series정수 $m$에 대하여 함수 $f(x) = (1+x)^m$를 고려하자. 이때 remainder 항을 포함하여 $f(x)$를 power series로 작성하면 다음과 같다. $$(1+x)^m = 1 + mx + \frac{m(m-1)}{2!} x^2 + \cdots + R_n$$ 이때 $R_n$은 $$R_n = \frac{x^n}{n!}(1 + \xi)^{m-n} m(m-1) \cdots (m-n+1)$$ 이고, $\xi \in [0, x]$이다. 정의역을 $x \geq 0$으로 제한하자. $n > m$인 경우에 대하여 $(1 + \xi)^{m-n}$은 $\xi = 0$일 때 최댓값 $1$을 가진다. 따라서 $|R_n| \leq \frac{x^n}{n!} |m(m-1) \cdots ..

Taylor Series함수 $f(x)$가 $a \leq x \leq b$에서 continuous $n$th derivative를 가진다고 가정하자. 이때 다음의 적분을 계산하자. $$\int_a^x f^{(n)}(x_1)dx_1 = f^{(n-1)}(x_1) \Big|_a^x = f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(a), \\     \int_a^x dx_2 \int_a^{x_2} f^{(n)}(x_1)dx_1 = \int_a^x dx_2 \left[ f^{(n-1)}(x_2) - f^{(n-1)}(a) \right] \\ = f^{(n-2)}(x) - f^{(n-2)}(a) - (x-a) f^{(n-1)}(a), \\     \int_a^x dx_3 \int_a^{x_3} dx_2 \int_..