TensorA tensor of rank $n$ in a $d$-dimensional space란 1부터 $d$까지의 값을 가지는 $n$개의 인덱스로 주어지는 component들을 가지는 object다. 예를 들어 rank 2의 3차원 텐서 $A$는 인덱스가 $2$개이고, 각 인덱스는 1부터 3까지의 값을 갖는다. 따라서 $A_{ij} (1 \leq i, j \leq 3)$과 같이 표현될 수 있고, 이는 3 by 3 matrix의 개념과 동일하다. 이와 같이 기존의 object들을 텐서라는 개념으로 일반화시킬 수 있고, 예컨대 스칼라는 rank 0 텐서, 벡터는 rank 1 텐서, 행렬은 rank 2 텐서이다. Levi-Civita symbol 같은 경우 rank 3 텐서다. Contravariant, ..

Curvilinear Coordinates and Scale Factors공간 상의 어떤 점의 좌표가 Cartesian coordinates에서 $(x, y, z)$로 표현된다고 하자. 이때 다른 좌표계에서 이 점의 좌표를 표현했을 때 일반적으로 좌표가 어떻게 얻어지는지 구하고자 한다. 우선 어느 좌표계든 orthogonal하다고 가정한다. 즉 각 좌표계의 단위벡터들은 서로 perpendicular하다. 바꾸고자 하는 좌표계가 $(q_1, q_2, q_3)$로 기술된다고 할 때, $x, y, z$는 각각 $q_1, q_2, q_3$의 함수로 표현된다고 가정하자. $\mathbf{r} = x\mathbf{\hat{x}} + y \mathbf{\hat{y}} + \mathbf{\hat{z}}$라고 할 때,..

GradientCartesian coordinate $\mathbb{R}^3$의 position vector를 $\mathbb{r} = x_1 \mathbf{\hat{e_1}} + x_2 \mathbf{\hat{e_2}} + x_3 \mathbf{\hat{e_3}}$이라 하자. 스칼라 함수 $\varphi : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$에 대하여 그 differential은 $$d \varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial \varphi}{\partial x_2} dx_2 + \frac{\partial \varphi}{\partial x_3} dx_3$$으로 주어진다. 이때 $$\nabla \varp..

Rotation2 dimesion Cartesian coordinate에 점 $(x, y)$가 주어졌다고 하자. 이때 기존 좌표계를 원점을 기준으로 반시계 방향으로 $\theta$만큼 회전했을 때 기존 점의 좌표와 변경된 점의 좌표 $(x', y')$는 다음의 관계식을 통해 기술된다. $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ 이때 $$S = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta &..

Cross ProductDefinition 1. Let $A, B$ be vectors. The cross product of $A$ and $B$ is defined as $A \times B = (|A||B| \sin \theta) \hat{\mathbf{e}}_c$ where $\hat{\mathbf{e}}_c$ is the unit vector to be perpendicular to the plane of $A$ and $B$, such that $A, B$, and $C$ form a right-handed system.Remark. Let $A, B \in \mathbb{R}^3$. Then $$C_i = \sum_{j, k} \varepsilon_{ijk} A_j B_k$$ equivale..

Definition 1. Let $A \in M_{n}(F)$. Then we define$$e^A = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} A^n, \\ \sin(A) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} A^{2n+1}, \\ \cos(A) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} A^{2n}.$$

두 행렬 $A, B \in M_{2}(\mathbb{R})$을 가져오자. 이때 $$A \otimes B = \begin{pmatrix} A_{11}B & A_{12} B \\ A_{21} B & A_{22} B \end{pmatrix}$$와 같이 정의되는 연산 $\otimes$를 direct product라고 부른다. 즉 위 예시에서 두 행렬의 direct 곱의 결과값은 $4 \times 4$ 행렬이다.

Invertible $n \times n$ matrix $A$의 determinant는 어떤 $i$에 대해 다음과 같이 주어진다. $$\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} A_{ij} \det(\widetilde{A_{ij}})$$ 각 $A_{ij}$를 variable로 선언한다면 $\det(A)$는 $A_{ij}$들로 이루어진 함수다. $x$를 $A_{ij}$들에 dependent하는 어떤 변수라고 한다면 $\det(A)$를 $x$에 대해 미분한 결과는 chain rule과 components of the inverse of a matrix를 구하는 공식에 의해 다음과 같이 얻어진다. $$\frac{d \det(A)}{dx} = \sum_{i, j} \frac{\partial \..

CommutatorDefinition 1. Let $A$ and $B$ be the square matrices with the same size. The commutator $[A, B]$ of $A$ and $B$ is defined by $[A, B] = AB - BA$.

PermutationDefinition 1. A permutation of a set $A$ is a function $\phi : A \rightarrow A$ that is bijective. Remark. Let denote the function composition $\sigma \circ \tau$ for permutations $\sigma$, $\tau$ by $\sigma \tau$. Then $\sigma \tau$ is bijective.임의의 자연수 $n$에 대해 집합 $A = \{ 1, 2, ..., n \}$가 주어져 있다. 이때 $A$의 permutation, 즉 치환은 각 자연수를 다른 자연수로 보내는 작용을 하는 함수이며, 한마디로 순서를 바꿔주는 함수이다. Symmetri..