어떤 입자의 움직임을 기술하기 위해, 만약 입자에 작용하는 힘이 주어져 있다면 그저 뉴턴의 운동 방정식 $\mathbf{F} = \dot{\mathbf{p}}$를 적용하기만 하면 됐었다. 그런데 이는 힘이 '잘' 주어져 있어야 가능한데, 예컨대 빗면이나 평면, 자유낙하와 같이 힘이 단순하게 주어지는 상황이라면 뉴턴 방정식은 매우 효과적이다. 반면 입자가 구면이나 구불구불한 경로를 따라 이동하는 경우 물체의 힘이 매 위치마다 바뀔 수 있고, 이 경우 뉴턴 법칙을 적용하기란 사실상 불가능하다. 이러한 경우 우리는 벡터량인 힘이 아니라 스칼라량인 에너지, 더 정확히는 '라그랑지안'(Lagrangian)의 관점에서 물체의 움직임을 기술하곤 한다. 이때 어떤 입자의 라그랑지안은 아래 기술될 '해밀턴의 원리'를 따른다는 사실이 알려져 있다.
해밀턴의 원리
Hamilton's Principle. Of all the possible paths along which a dynamical system may move from one point to another within a specified time interval (consistent with any constraints), the actual path followed is that which minimizes the time integral of the difference between the kinetic and potential energies.
즉 물체의 이동 경로는 식 $$\delta \int_{t_1}^{t_2} (T - U) \, dt = 0$$을 품으로써 주어진다. 이때 우리는 라그랑지안 $\mathcal{L}$을 $$\mathcal{L} = \mathcal{L}(x_i, \dot{x_i}) = T - U$$로 정의한다. 실제로는 수많은 상황이 존재할 수 있지만, 고전역학에서는 오직 중심력과 보존력이 작용하는 경우, 즉 $$T = T(\dot{x_i}), \quad U = U(x_i)$$인 경우만을 상정한다. 또한 작용(action) $S$를 다음과 같이 정의한다. $$S = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(x_i, \dot{x_i}) dt$$ 즉 해밀턴의 원리는 작용 $S$의 변분 $\delta S$가 극값, 더 특별하게 최소가 되는 경로를 물체는 선택한다고 요약할 수 있다. 다시 말해 $$\delta S = \delta \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(x_i, \dot(x_i)) \, dt = 0$$이다.
라그랑주 운동 방정식
이제 이 변분에 오일러 방정식을 적용하면 다음의 방정식을 얻는다. $$\frac{\partial L}{\partial x_i} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} = 0,
\quad i = 1, 2, 3$$ 이를 라그랑주 운동 방정식(Lagrange Equations of Motion)이라고 부른다. 즉 어떤 운동하는 입자의 라그랑지안은 라그랑주 운동 방정식을 만족해야 한다.
미정 계수를 포함하는 라그랑주 방정식
많은 경우 물체는 특정한 구속 조건 하에서 운동하게 된다. 그런데 라그랑주 방정식을 풀기 전에 구속 조건을 찾아서 미리 대입하게 되면 구속 조건이 적용된 물체의 운동 방정식을 얻을 수 있지만, 그 구속 조건을 야기한 구속력과 같은 원인을 찾을 수는 없다. 이 원인 자체를 찾기 위해서 구속 조건을 미리 대입하는 게 아니라, 라그랑주 방정식 자체에 구속 조건을 포함시켜 계산하는 방법을 소개하려 한다.
일반화 좌표계에서 미정 계수를 포함하는 라그랑주 방정식은 다음과 같은 형태로 작성된다. $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_j} - \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_j} + \sum_{k} \lambda_k(t) \frac{\partial f_k}{\partial q_j} = 0$$ 여기서 $f_k$는 구속 조건, $\lambda_k(t)$는 미정 계수로, $$Q_j = \lambda_k(t) \frac{\partial f_k}{\partial q_j}$$가 일반화된 구속력이라고 볼 수 있다.
이때 주의할 점은, 구속 조건 $f_k$를 어떤 방식으로 적느냐에 따라서 구속력의 부호는 달라질 수 있다. 따라서 구속력의 부호는 임의성을 가지며, 상황에 따라 맞게 정해야 한다. 또한 구속력을 구하기 위해서는 구속 조건을 라그랑주 방정식에 미리 대입하면 안되고, 각 좌표에 따라 라그랑주 방정식을 푼 뒤 $\lambda$를 결정할 때 구속 조건을 사용하여 식을 연립하여야 한다.
뉴턴 역학 vs. 라그랑주 역학
뉴턴 역학과 라그랑주 역학은 역학계의 움직임을 기술하기 위한 방법론의 역할로만 본다면 본질적으로 차이가 없다. 단지 뉴턴 역학은 힘, 토크, 운동량, 각운동량과 같은 벡터량으로 기술할 뿐이고, 라그랑주 역학은 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지와 같은 스칼라양으로 기술할 뿐이다. 즉 문제에 접근하는 방법에 차이가 있는 것이지, 두 역학은 근본적으로 동일한 해석 결과를 준다. 그러나 앞서 언급했던 대로 많은 경우에 역학계에 작용하는 힘을 깔끔하게 찾아내어서 뉴턴 역학을 적용하기란 쉽지 않다. 반면 힘은 모르더라도 에너지는 찾을 수 있는 경우가 많고, 또한 에너지는 스칼라양이기 때문에 좌표 변환에 불변이므로 우리가 다루기 편한 좌표계를 골라서 해석해도 문제가 없다. 이러한 이점들 때문에 라그랑주 역학은 역학 문제를 풀 때 자주 선택되는 방법이 된다.
반면 철학적으로 보면 두 방법은 차이가 명확하다. 뉴턴 역학은 힘이라는 원인에 의해 물체의 운동이라는 결과가 나타난다는 인과론을 주장한다. 반면 라그랑주 역학은 물체는 액션의 변분을 최소로 하려는 방향으로 운동한다는 목적론을 주장한다.