Calculus of Variations다음과 같은 함수 $J$를 고려하자. $$J = \int_{x_1}^{x_2} f\left( y(x), y'(x); x \right) \, dx$$ 즉 $J$는 구간이 $x_1 \sim x_2$로 고정되었지만, 그 안에 피적분함수가 결정되지 않은 적분으로 정의되는 함수이다. 이때 어떤 미분가능한 함수 $y$와 그 도함수 $y'$이 $J$의 변수이며, $y, y'$의 변수는 $x$이다. 이런 $y$들을 모아 놓은 집합에 적당한 연산을 주면 벡터 공간으로 취급할 수 있고, $J$의 값은 어떤 스칼라로 주어질 것이므로 $J$는 linear functional, 즉 범함수다. 이때 우리는 $J$가 어느 $y$를 대입할 때 극값을 가지는지 아는 것이 목표고, 그 방법..

구각 정리구각 정리란 밀도가 균일한 구가 공간 상의 특정 점에 만들어내는 중력을 계산한 내용이다. 이로 인해 지구의 중력을 쉽게 계산함으로써 여러 문제들을 해결할 수 있게 되었고, 이는 뉴턴의 업적 중 하나이다. 상황은 다음과 같다. 안쪽 반지름이 $b$, 바깥쪽 반지름이 $a$인 구 껍질이 중심으로부터 $R$만큼 떨어진 지점 $P$에 만들어내는 중력을 구해야 한다. 우리는 중력 퍼텐셜 $Phi$를 먼저 구한 다음 미분하여 중력을 구할 것이다.구 껍질 외부 구 껍질의 중력 퍼텐셜은 다음과 같이 주어진다. $$\Phi = -G \int_V \frac{\rho(\mathbf{r}')}{r} \, dv'$$ 이때 밀도 $\rho$는 거리에 관계 없이 항상 일정하므로 적분 바깥으로 뺄 수 있고, 구..

만유인력Newton's Law of Universal Gravitation. Each mass particle attracts every other particle in the universe with a force that varies directly as the product of the two masses and inversely as the square of the distance between them.뉴턴이 정리한 만유인력(중력) 법칙을 수학적으로 서술하면 다음과 같다. $$F = -G\frac{mM}{r^2}\hat{e_r}$$ 따라서 중력은 그 정의상 중심력이다. $G$는 중력 상수로, 그 값은 $6.674 \pm 0.010 \times 10^{-11} N \cdot m^2 / kg^2$으..

사인형 구동력이 조화 진동자에 작용하는 경우 푸리에 급수를 통해 일반해를 구할 수 있었다. 그런데 외력이 사인형이 아니고 일반적으로 주어지는 경우에도 일반해를 구할 수 있을까? 예컨대, 외력 $F(t)$에 대하여 운동방정식 $$\ddot{x} + 2\beta \dot{x} + w^2_0 x = \frac{F(t)}{m}$$을 항상 풀 수 있을까? 외력이 어떠한 형태이든, 특정 시점을 기준으로 그 전까지는 힘이 작용하지 않고 있다가 그 후에 힘이 작용하는 경우를 생각할 수 있다. 이를 Figure 1 (a)와 같이 나타내자. 이때 $\frac{F(t)}{m}$을 $H(t, t_0)$라는 함수로 나타내면 $H(t, t_0)$는 다음과 같다. $$H(t, t_0) = \begin{cases} 0, &..

Introduction감쇠진동에서 외력 $F$가 있을 때 운동방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다. $$\left( \frac{d^2}{dt^2} + a \frac{d}{dt} + b \right) x(t) = F(t) $$ 이때 연산자 $L$을 다음과 같이 정의하자. $$L := \frac{d^2}{dt^2} + a \frac{d}{dt} + b$$ 그러면 운동방정식은 다음과 같다. $$Lx(t) = F(t)$$ 이때 $L$은 linear이므로 외력 $F_1, ..., F_N$에 대해 $$Lx_1(t) = F_1(t), ..., Lx_N(t) = F_N(t)$$를 만족한다면 $$L \left( \sum_{n=1}^N \alpha_n x_n(t) \right) = \sum_{n=1}^N \alpha_n F_..

강제진동감쇠진동에서는 조화 진동자의 상황에서 속도에 비례하는 어떤 저항력이 있어서 점차 진폭이 작아지며 진동하거나, 빠른 시간 내에 평형점으로 수렴하는 경우를 살펴보았다. 그런데 저항력이 감소시키는 만큼 어떤 외력이 조화 진동자에 작용해서 저항력이 있음에도 불구하고 일정한 진폭을 유지한채 진동을 시키는 경우를 생각해 볼 수 있다. 이런 경우를 '강제진동'(forced oscillation)이라고 부르고, 그 중 외력이 사인형에 해당하는 사인형 구동력을 살펴보자. 이때 운동방정식은 다음과 같이 주어진다. $$m \ddot{x} = -b \dot{x} - kx + F_0 \cos wt \\ \Longrightarrow \ddot{x} + 2\beta \dot{x} + w^2_0 x = A \cos w..

훅의 법칙1차원 평면에서 용수철에 매달려서 마찰 없이 진동하는 입자를 생각하자. 이때 평형점을 원점으로 하고 용수철이 입자에 작용하는 복원력 $F$를 변위 $x$만의 함수라고 하자. 이때 테일러 전개에 의해 다음이 성립한다. $$F(x) = F_0 + x \frac{dF}{dx} + \frac{x^2}{2} \frac{d^2F}{dx^2} + \cdots$$ $F_0$는 원점, 즉 평형점에서의 힘이므로 $0$이라고 가정하고, 일차항을 제외한 나머지 항을 무시한다면 $F(x) = x \frac{dF}{dx}$로 쓸 수 있고, 이때 $$-k = \frac{dF}{dx}$$로 둔다면 $$F(x) = -kx$$를 얻고, 이렇게 표현되는 복원력으로 기술되는 물리계는 훅의 법칙(Hooke's Law)을 따른다고 말..

Conservation TheoremsConservation Theorems. (i) The total linear momentum $p$ of a particle is conserved when the total force on it is zero.(ii) The angular momentum of a particle subject to no torque is conserved.(iii) The total energy E of a particle in a conservative force field is a constant in time.물체에 작용하는 힘 $F$가 보존력(coservative force)이면 다음의 관계를 갖는 퍼텐셜 함수 $U$가 존재하고, 특별히 $U$를 퍼텐셜 에너지(potent..

Retarding Force일반 물리까지는 역학에서 공기 저항을 고려하지 않았다. 이제는 공기 저항까지 포함하여 물체의 궤도를 계산하려 한다. 공기 저항이라고 썼지만, 일반적으로 물체가 받는 저항력을 retarding force, 혹은 drag force라고 부른다. 공기 저항도 이 중 한 종류이다. 일반적으로 공기 저항은 물체가 이동하는 속도에 비례하여 증가한다고 알려져 있다. 즉 공간 상에서 중력이나 탄성력과 같은 특별한 외력을 받지 않은 채 속도 $\dot{x}$으로 이동하는 물체에 대해 작용하는 저항력은 뉴턴 2법칙에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다. $$\mathbf{F} = m\mathbf{\ddot{x}} = - mk\dot{x}^n \mathbf{\hat{\dot{x}}}$$ 이때 공..

Newton's LawNewton's Law. (i) A body remains at rest or in uniform motion unless acted upon by a force. (ii) A body acted upon by a force moves in such a manner that the time rate of change of momentum equals the force. (iii) If two bodies exert forces on each other, these forces are equal in magnitude and opposite in direction. 모든 고전적인 물체는 뉴턴의 세 가지 운동 법칙을 따른다. 그러나 위의 세 문장만으로는 조금 부족한 감이 있는데, 아래에..