Translation on the $s$-axis
Theorem 1. Let $F(s) = \mathcal{L} \{ f(t) \}$. Then $$\mathcal{L} \{ e^{at} f(t) \} = F(s-a)$$
Proof.
즉 원래 함수 $f(t)$에 지수함수 $e^{at}$를 곱하는 효과는 $s$축에서 $a$만큼 평행이동 시킨 효과와 같다. 생각보다 자주 헷갈리기 때문에 $$F(s) \bigg|_{s \to s - a}$$와 같이 표기해 두는 것이 도움이 된다. 반대로 기존에 알고 있던 라플라스 변환에서 평행이동 된 꼴을 역변환시켜야 한다면 기존의 역변환 꼴에 지수함수를 곱한 꼴로 복원된다.
Unit Step Function
Definition 1. The unit step function (Heaviside function) $u(t-a)$ is defined to be $$u(t-a) = \begin{cases} 0 & \text{if } 0 \le t \le a \\ 1 & \text{if } t \ge a \end{cases}$$
Note. Let $f_1, f_2$ be functions.
(i) $$f_1(t)[1 - u(t-a)] + f_2(t)u(t-a) = \begin{cases} f_1(t) & \text{if } 0 \le t \le a \\ f_2(t) & \text{if } t \ge a \end{cases}$$ (ii) $$f_1(t) [u(t-a) - u(t-b)] = \begin{cases} 0 & \text{if } 0 \le t < a \\ f_1(t) & \text{if } a \le t < b \\ 0 & \text{if } t \ge b \end{cases}$$ (iii) $$f_1(t-a)u(t-a) = \begin{cases} 0 & \text{if } 0 \le t < a \\ f_1(t-a) & \text{if } t \ge a \end{cases}$$
Translation on the $t$-axis
Theorem 2. Let $F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}$. Then $$\mathcal{L}\{ f(t-a)u(t-a) \} = e^{-as} F(s) \\ \mathcal{L} \{ f(t) u (t-a) \} = e^{-as} \mathcal{L} \{ f(t+a) \}$$
Proof.
Remark
Remark.
(i) $$\mathcal{L} \{ e^{at} f(t) u(t- b) \} = e^{-bs} \mathcal{L} \{ e^{a(t+b)} f(t+b) \} = e^{-bs} e^{ab} \mathcal{L} \{ e^{at} f(t+b) \} \\ = e^{-b(s-a)} \mathcal{L} \{ f(t+b) \} \bigg|_{s \to s-a}$$ (ii) $$\mathcal{L}^{-1}\{ e^{-bs} F(s-a)\} = e^{a(t-b)}f(t-b) u(t-b)$$