Analytic
Definition 1. A function $f$ is said to be analytic at $x = a$ if $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n \quad \text{for } |x - a| < R$$ for some $R > 0$.
어떤 점 $x = a$ 근방에서 함수 $f$가 테일러 전개가 가능하다면 $f$는 $a$에서 해석적이라고 부른다. 정의역의 모든 점에서 해석적이라면 $f$를 해석함수, analytic funciton이라고 부른다.
테일러 급수는 미분가능하므로 해석적이라면 미분가능하다. 다만 다음의 반례에서 알 수 있듯이 역은 성립하지 않는다.
Example. Let $$f(x) = \begin{cases} e^{- \frac{1}{x}} & \text{if } x > 0 \\ 0 & \text{if } x \le 0 \end{cases}$$ Then we have $f^{(n)} = 0, \forall n \in \mathbb{N}$, which means that $f$ is infinitely differentiable at $x = 0$.
Suppose that $f$ is analytic at $x = 0$. Then $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = 0 \bigotimes$$ Thus $f$ is not analytic at $x = 0.$
Classification of the Points
Definition 2. Consider the 2nd-order linear homogeneous ODE $$y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0.$$ (i) A point $x_0$ is called an ordinary point of the DE if both $P$ and $Q$ are analytic at $x_0$.
(ii) A point that is not an ordinary point is called a singular point of the DE.
(iii) Let $x_0$ be a singular point of the DE, and let $$p(x) = P(x)(x - x_0) \quad \text{and} \quad q(x) = Q(x)(x - x_0)^2.$$ If both $p$ and $q$ are analytic at $x_0$, then $x_0$ is called a regular singular point of the DE.
(iv) A singular point that is not a regular ordinary point is called an irregular singular point of the DE.
주어진 미분방정식을 멱급수해를 가정하고 풀기 위해서는 멱급수 전개가 보장되어야 한다. 따라서 각 함수가 해석적인지 여부에 따라 위와 같이 정의역의 점들을 나누어서 풀이를 진행하게 된다.
보통 각 계수함수 $P, Q$가 다항식인 경우를 풀게 될텐데, 다항함수는 모든 실수 구간에서 해석적이기 때문에 이 경우에 한해서는 $y''$의 계수함수가 $0$이 아닌 지점을 ordinary point, $0$인 지점을 singular point라고 정의할 수도 있다.
Existence of Power Series Solutions
Theorem 1. Let $$a_2(x)y'' + a_1(x)y' + a_0(x)y = 0$$ be the 2nd-order linear homogeneous ODE, and let $x_0$ be an ordinary point of the DE. Then there exist two linearly independent power series solutions in the form: $$y = \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-x_0)^n \quad \text{for } |x - x_0| < R$$ where $$R = \min \{ |x_0 - x_1|, |x_0 - x_2|, ..., |x_0 - x_n| \}$$ for singular points $x_1, x_2, ..., x_n$ of the DE.
위 정리는 주어진 미분방정식의 ordinary point 근방에 대해서 멱급수해로 이루어지는 일반해가 항상 존재함을 보장해주고 있다. 수렴반경은 특이점으로부터 가장 가까운 거리로 주어지는데, 만약 특이점이 없다면 자명하게 수렴반경은 실수 전체가 된다.
계산의 편의상, 우리는 항상 ordinary point로 $x=0$을 택하고 해를 구할 것이다. 다른 점 $x = x_0$에서 해를 구해야 한다면 $x - x_0 = t$로 치환해서 $t=0$ 기준으로 해를 구한 뒤, 다시 $t = x - x_0$를 대입해 복원해 주면 된다.
해를 멱급수 꼴로 가정한 뒤, 해를 미분하여 원래 미분방정식에 대입해 준 뒤 적당히 $x$에 대한 멱급수 꼴로 다시 정리해주면 우변이 $0$이기 때문에 각 계수가 모두 $0$이어야 한다는 방정식을 얻게 된다. 이 방정식으로부터 처음에 가정했던 멱급수 해의 계수 $c_n$의 조건(많은 경우 점화식을 얻게 된다)을 얻을 수 있고, 이 조건을 이용해서 일반해를 결정할 수 있다.
Frobenius' Method
Theorem 2. Let $$a_2(x)y'' + a_1(x)y' + a_0(x)y = 0$$ be the 2nd-order linear homogeneous ODE and let $x_0$ be a regular singular point of the DE. Then there exists a nonzero power series solution in the form: $$y = \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x - x_0)^{n+r} \quad \text{for } 0 < x - x_0 < R$$ where $c_0 \neq 0$ and $r, R$ are constants.
Singular point에서는 정리 1을 사용하지 못하지만, regular singular point에 한해서는 위와 같은 꼴을 가지는 미분방정식의 해가 주어진 조건과 구간에 대해서 적어도 하나 존재함이 보장되어 있다. 이를 프로베니우스 방법이라고 부른다.
기본적인 풀이는 ordinary point에서의 풀이와 동일하다. 다만 프로베니우스 방법에서는 $r$이라는 새로운 상수가 추가되고, $r$의 값에 따라서 각각 풀이를 적용해야 한다. $r$값이 서로 다른 두 실수로 나온다면 각각에 대해서 풂으로써 선형 독립인 두 멱급수 해를 얻게 된다. 그러나 $r$이 하나만 나오는 경우, 먼저 결정된 해를 이용해 두 번째 해를 찾아야 한다.
Ordinary point와 마찬가지로 regular singular point로 항상 $x=0$을 택할 것이다.