18) 상대론적 힘 앞서 살펴보았던 상대론적 운동량을 가지고 상대론적 힘을 유도해보자. 뉴턴의 운동 법칙 $$F = \frac{dp}{dt}$$ 로부터 $$F = \frac{dp}{dt} = \frac{d}{dt}(\gamma m_0 v) = m_0 v \frac{d\gamma}{dt} + \gamma m_0 \frac{dv}{dt} \\ = m_0 v [-\frac{1}{2}(1 - \frac{v^2}{c^2})^{-\frac{3}{2}} \cdot (-\frac{2v}{c^2})\frac{dv}{dt}] + \gamma m_0 a \\ = \gamma m_0 a (\frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}}) = \gamma ^3 m_0 a = \gamma F_0 \\ \Longrightar..
17) 상대론적 질량과 운동량 이전까지의 고전역학에 의하면, 물체에 에너지를 가하면 속도가 증가하여 운동량 혹은 운동 에너지가 증가하게 된다. 그러나 앞선 논의를 통해 물체의 속도의 크기는 결코 광속을 넘을 수 없으므로, 어떤 형태로든 질량이 증가할 수 밖에 없다는 생각을 할 수 있다. 이것을 상대론적으로 유도한 결과가 상대론적 질량, $$m = \gamma m_0$$ 이다. 이때 $m_0$는 관성질량으로, 상대론에서는 정지질량(Rest Mass)이 된다. 물체의 속도의 크기가 광속에 비해 매우 작은 경우, 고전적 질량으로 환원된다. 위 식의 양변에 물체의 속도 $v$를 곱하면, 상대론적 운동량이 얻어진다. $$p = mv = \gamma m_0 v$$ 수평 방향으로 두 물체 사이의 충돌을 통해 이를 유..
15) 쌍둥이 역설 상대성이론과 함께 많은 사람들에게 알려지게 된 쌍둥이 역설(Twin Paradox)을 살펴보자. 쌍둥이 역설은 1911년 솔베이 회의에서 랑저뱅(Paul Langevin)에 의해서 처음 거론된 역설로, 초기에는 많은 논쟁거리를 낳았으나 이후 많은 방법들로 논파된 역설이다. 위의 그림에서 $A$와 $B$는 쌍둥이로, $A$는 광속에 가까운 크기의 속도 $V$로 움직이는 우주선을 타고 지구에서 별까지 왕복 여행을 다녀온다고 하자. $B$는 지구에 남아있고, $B$를 기준으로 지구와 별 사이의 고유길이는 $L_0$이다. $B$ 기준으로 $A$는 광속에 가까운 크기의 속도로 움직이므로 시간 팽창에 의해 $A$가 타고 있는 우주선의 시계는 자신의 고유시간 $\Delta t_0$에 비해 $\De..
13) 광시계를 통한 시간 팽창의 유도 지난 포스트에서 로렌츠 변환으로 유도했던 시간 팽창을 Light Clock, 즉 광시계를 통한 사고실험을 도입해서 유도할 수 있다. 다음과 같이 $+x$축 방향으로 $V$의 속력으로 움직이는 우주선 안에 빛이 100% 반사율을 가지는 두 개의 거울 사이를 왕복 운동하는 장치가 있다. 거울 사이의 거리는 $L_0$로 일정하므로, 광속 불변의 원리에 의해 빛이 왕복운동하는 횟수는 시간에 비례하므로 이를 시계로 사용할 수 있다. 이때 우주선 내부 좌표계에서는 빛이 t0의 시간 간격을 가지고 위아래로만 왕복 운동하는 것으로 관측될 것이므로 $2L_0 = c \cdot t_0$ 의 관계가 성립한다. 그러나 우주선 밖 좌표계 기준으로는 우주선이 운동하고 있으므로 거울이 움직여..
동시성의 상대성에 이어서 특수상대성이론의 대표적인 결과인 '시간 팽창'(Time Dilation)과 '길이 수축'(Length Contraction)을 다뤄보자. 11. 시간 팽창 (Time Dilation) 다음 그림과 같이 $S$ 좌표계에 있는 관찰자가 $S$와 $S'$에 있는 시계가 가리키는 시간을 읽는 상황을 고려하자. 시계는 $S$를 기준으로 $x$의 위치에 있다. 이때 관찰자에 대해 정지해 있는 좌표계에서 읽는 시간을 '고유시간'(Proper Time)이라고 부른다. 위 그림에서 고유시간은 $S$에 있는 관찰자가 읽는 시간이므로 $t = t_1, t = t_2$가 고유시간이다. $S$에서 읽는 고유시간 간격 $t_0$는 $t_0 = t_2 - t_1$이다. 따라서 $S$에 있는 관찰자가 읽어내..
