13) 광시계를 통한 시간 팽창의 유도
지난 포스트에서 로렌츠 변환으로 유도했던 시간 팽창을 Light Clock, 즉 광시계를 통한 사고실험을 도입해서 유도할 수 있다.
다음과 같이 $+x$축 방향으로 $V$의 속력으로 움직이는 우주선 안에 빛이 100% 반사율을 가지는 두 개의 거울 사이를 왕복 운동하는 장치가 있다. 거울 사이의 거리는 $L_0$로 일정하므로, 광속 불변의 원리에 의해 빛이 왕복운동하는 횟수는 시간에 비례하므로 이를 시계로 사용할 수 있다. 이때 우주선 내부 좌표계에서는 빛이 t0의 시간 간격을 가지고 위아래로만 왕복 운동하는 것으로 관측될 것이므로 $2L_0 = c \cdot t_0$ 의 관계가 성립한다.
그러나 우주선 밖 좌표계 기준으로는 우주선이 운동하고 있으므로 거울이 움직여서 빛이 지그재그 형태로 운동하는 것으로 관측된다. 우주선 밖 좌표계가 측정한 빛의 운동 시간 간격을 $t$라고 할 때, 피타고라스 정리에 의해 다음이 성립한다.
$$(\frac{c \cdot t}{2})^2 = L^2_0 + (\frac{V \cdot t}{2})^2 \\ \Longrightarrow t^2 = \frac{4L^2_0}{c^2 - V^2} = \frac{4L^2_0}{c^2(1 - \frac{V^2}{c^2})} = (\frac{2L_0}{c})^2 \cdot \gamma^2 \\ \Longrightarrow t = \gamma t_0$$ 따라서 앞선 결과와 동일하게 시간 팽창을 유도할 수 있다.
14) 서로 다른 세상
Figure 2 (a)와 같이 $S$와 $S'$에 모두 자와 시계가 놓인 상황을 고려하자. 서로 $V$의 크기로 상대적으로 운동하고 있는 두 좌표계 $S$와 $S'$에 대하여 만약 $S$의 $B$, $S'$의 $A$ 두 관측자가 모두 상대론적 지식을 가지고 있다면, 각 관측자는 서로의 자가 짧아지고, 시계가 천천히 가는 것으로 인식될 것이다. 이때 $B$의 관점에서 고유길이 $L_0$와 고유시간 간격 $\Delta t_0$를 통해 운동하는 자의 길이 $L$과 시간간격 $\Delta t$를 계산하면
$$L = \frac{L_0}{\gamma} \wedge \Delta t = \gamma \Delta t_0 \\ \Longrightarrow L \Delta t = \frac{L_0}{\gamma} \cdot \gamma \Delta t_0 = L_0 \Delta t_0$$ 의 관계가 성립한다. 즉, 관측자에 대해 움직이는 좌표계에서는 시간이 지연되는 만큼 공간이 수축한다.(같은 비율로 변화한다)
이번엔 Figure 2 (b)와 같이 $S$에는 시계만, $S'$에는 자만 놓여 있는 상황을 고려하자. 동일하게 두 관측자 모두 상대론적 지식을 가지고 있다면, $B$는 $A$의 좌표계는 공간이 수축해 있는 곳이라고 인식할 것이며, 반대로 $A$는 $B$의 좌표계는 시간이 팽창해 있는 곳이라고 인식할 것이다. $B$가 $S'$의 좌표계에 있는 자의 길이 $L$을 재기 위해 $x'_2$가 시계를 지나칠 때 자신의 시계로 시각 $t_{02}$를 읽고, $x'_1$이 시계를 지나칠 때 동일하게 시각 $t_{01}$을 읽는다면 $$L = V(t_{02} - t_{01}) = V \cdot \Delta t_0$$ 의 관계가 성립한다. ($\Delta t_0$는 고유시간 간격이다)
유사하게 $A$가 자신의 좌표계에 있는 자의 길이 $L_0$를 재기 위해 $B$의 시계를 이용하여 $x'_2$가 시계를 지나칠 때 $B$의 시계로 시각 $t_2$를 읽고, $x'_1$이 시계를 지나칠 때 동일하게 시각 $t_1$을 읽는다면 $$L_0 = V(t_2 - t_1) = V \cdot \Delta t$$ 의 관계가 성립한다. 위 두 식에서 V를 소거하면 $$\frac{L}{\Delta t_0} = \frac{L_0}{\Delta t}$$의 관계를 얻는다. 즉 자의 길이를 측정한다는 동일한 행위에 대해 $A$는 시간 팽창, $B$는 길이 수축이라는 서로 다른 두 사실에 의존하고 있는 것이다. 즉 두 관측자는 서로 다른 상대론적 세상을 경험하고 있다. 만약 자와 시계가 있는 좌표계가 바뀐다면 정반대의 상대론적 세계가 펼쳐질 것이다. 즉 관측자는 위치에 따라 서로 다른 세상을 경험함으로써 다른 말을 할 수 있다는 것이다.
이러한 상대론적 효과를 통해 뮤온의 수명과 이동거리를 설명할 수 있게 된다.
뮤온 입자는 Cosmic Ray, 즉 우주선이 대기와 충돌할 때 발생하는 소립자다. 알려진 뮤온 입자의 평균 수명은 $2.2 \mu s$ 정도로 매우 짧은데 반해 지구 대기권에서 만들어진 많은 수의 뮤온 입자들이 지상에서 검출되었다. 이는 상대론적 효과인 시간 팽창, 길이 수축으로 인한 현상이다. 이때 지상 관측자의 입장과 뮤온 입장에서 서로 다른 해석이 가능하다.
위의 그림과 같이 $-y$ 방향으로 $V$의 속력으로 지상으로 떨어지는 뮤온의 수명을 뮤온 좌표계에서 $\Delta t_0$라 하고, 이 시간 동안 이동한 거리를 $L$이라 할 때 $$L = V \cdot \Delta t_0$$ 로 거리 $L$이 수축하는 효과가 생긴다. 뮤온 입장에서는 자신은 정지해 있고, 지상이 $V$의 크기를 가지고 자신에게 다가오는 것이므로, 관측자에 대해서 움직이는 공간은 수축한다는 길이 수축에 의해 $L$은 줄어들게 된다.
반대로 지상 관측자 $B$의 입장에서 보면 뮤온의 수명을 $\Delta t$라 하고, 이 시간 동안 이동한 거리를 $L_0$라 할 때 $$L_0 = V \cdot \Delta t$$ 로 수명 $\Delta t$가 팽창하는 효과가 생긴다. 처음 뮤온이 떨어지기 시작한 위치와 지상까지의 위치는 변하지 않았으므로 고정이지만, 관측자에 대하여 움직이는 좌표계의 시간은 팽창한다는 시간 팽창에 의해 뮤온의 수명 $\Delta t$가 팽창하게 된다.