13~14) 광시계를 통한 시간 팽창의 유도, 서로 다른 세상

2023. 3. 9. 21:25·Physics/상대성이론과 양자역학 입문
목차
  1. 13) 광시계를 통한 시간 팽창의 유도
  2. 14) 서로 다른 세상

13) 광시계를 통한 시간 팽창의 유도

    지난 포스트에서 로렌츠 변환으로 유도했던 시간 팽창을 Light Clock, 즉 광시계를 통한 사고실험을 도입해서 유도할 수 있다.

Figure 1

    다음과 같이 +x+x축 방향으로 VV의 속력으로 움직이는 우주선 안에 빛이 100% 반사율을 가지는 두 개의 거울 사이를 왕복 운동하는 장치가 있다. 거울 사이의 거리는 L0L0로 일정하므로, 광속 불변의 원리에 의해 빛이 왕복운동하는 횟수는 시간에 비례하므로 이를 시계로 사용할 수 있다. 이때 우주선 내부 좌표계에서는 빛이 t0의 시간 간격을 가지고 위아래로만 왕복 운동하는 것으로 관측될 것이므로 2L0=c⋅t02L0=c⋅t0 의 관계가 성립한다.

    그러나 우주선 밖 좌표계 기준으로는 우주선이 운동하고 있으므로 거울이 움직여서 빛이 지그재그 형태로 운동하는 것으로 관측된다. 우주선 밖 좌표계가 측정한 빛의 운동 시간 간격을 tt라고 할 때, 피타고라스 정리에 의해 다음이 성립한다.

(c⋅t2)2=L20+(V⋅t2)2⟹t2=4L20c2−V2=4L20c2(1−V2c2)=(2L0c)2⋅γ2⟹t=γt0(c⋅t2)2=L02+(V⋅t2)2⟹t2=4L02c2−V2=4L02c2(1−V2c2)=(2L0c)2⋅γ2⟹t=γt0 따라서 앞선 결과와 동일하게 시간 팽창을 유도할 수 있다.

14) 서로 다른 세상

Figure 2 (출처: 두 개의 수레바퀴 기초편 53p)

    Figure 2 (a)와 같이 SS와 S′S′에 모두 자와 시계가 놓인 상황을 고려하자. 서로 VV의 크기로 상대적으로 운동하고 있는 두 좌표계 SS와 S′S′에 대하여 만약 SS의 BB, S′S′의 AA 두 관측자가 모두 상대론적 지식을 가지고 있다면, 각 관측자는 서로의 자가 짧아지고, 시계가 천천히 가는 것으로 인식될 것이다. 이때 BB의 관점에서 고유길이 L0L0와 고유시간 간격 Δt0Δt0를 통해 운동하는 자의 길이 LL과 시간간격 ΔtΔt를 계산하면

L=L0γ∧Δt=γΔt0⟹LΔt=L0γ⋅γΔt0=L0Δt0L=L0γ∧Δt=γΔt0⟹LΔt=L0γ⋅γΔt0=L0Δt0 의 관계가 성립한다. 즉, 관측자에 대해 움직이는 좌표계에서는 시간이 지연되는 만큼 공간이 수축한다.(같은 비율로 변화한다)

    이번엔 Figure 2 (b)와 같이 SS에는 시계만, S′S′에는 자만 놓여 있는 상황을 고려하자. 동일하게 두 관측자 모두 상대론적 지식을 가지고 있다면, BB는 AA의 좌표계는 공간이 수축해 있는 곳이라고 인식할 것이며, 반대로 AA는 BB의 좌표계는 시간이 팽창해 있는 곳이라고 인식할 것이다. BB가 S′S′의 좌표계에 있는 자의 길이 LL을 재기 위해 x′2x2′가 시계를 지나칠 때 자신의 시계로 시각 t02t02를 읽고, x′1x1′이 시계를 지나칠 때 동일하게 시각 t01t01을 읽는다면 L=V(t02−t01)=V⋅Δt0L=V(t02−t01)=V⋅Δt0 의 관계가 성립한다. (Δt0Δt0는 고유시간 간격이다)

    유사하게 AA가 자신의 좌표계에 있는 자의 길이 L0L0를 재기 위해 BB의 시계를 이용하여 x′2x2′가 시계를 지나칠 때 BB의 시계로 시각 t2t2를 읽고, x′1x1′이 시계를 지나칠 때 동일하게 시각 t1t1을 읽는다면 L0=V(t2−t1)=V⋅ΔtL0=V(t2−t1)=V⋅Δt 의 관계가 성립한다. 위 두 식에서 V를 소거하면 LΔt0=L0ΔtLΔt0=L0Δt의 관계를 얻는다. 즉 자의 길이를 측정한다는 동일한 행위에 대해 AA는 시간 팽창, BB는 길이 수축이라는 서로 다른 두 사실에 의존하고 있는 것이다. 즉 두 관측자는 서로 다른 상대론적 세상을 경험하고 있다. 만약 자와 시계가 있는 좌표계가 바뀐다면 정반대의 상대론적 세계가 펼쳐질 것이다. 즉 관측자는 위치에 따라 서로 다른 세상을 경험함으로써 다른 말을 할 수 있다는 것이다.

    이러한 상대론적 효과를 통해 뮤온의 수명과 이동거리를 설명할 수 있게 된다. 

Figure 3 (출처: 두 개의 수레바퀴 기초편 54p)

    뮤온 입자는 Cosmic Ray, 즉 우주선이 대기와 충돌할 때 발생하는 소립자다. 알려진 뮤온 입자의 평균 수명은 2.2μs2.2μs 정도로 매우 짧은데 반해 지구 대기권에서 만들어진 많은 수의 뮤온 입자들이 지상에서 검출되었다. 이는 상대론적 효과인 시간 팽창, 길이 수축으로 인한 현상이다. 이때 지상 관측자의 입장과 뮤온 입장에서 서로 다른 해석이 가능하다.

위의 그림과 같이 −y−y 방향으로 VV의 속력으로 지상으로 떨어지는 뮤온의 수명을 뮤온 좌표계에서 Δt0Δt0라 하고, 이 시간 동안 이동한 거리를 LL이라 할 때 L=V⋅Δt0L=V⋅Δt0 로 거리 LL이 수축하는 효과가 생긴다. 뮤온 입장에서는 자신은 정지해 있고, 지상이 VV의 크기를 가지고 자신에게 다가오는 것이므로, 관측자에 대해서 움직이는 공간은 수축한다는 길이 수축에 의해 LL은 줄어들게 된다.

    반대로 지상 관측자 BB의 입장에서 보면 뮤온의 수명을 ΔtΔt라 하고, 이 시간 동안 이동한 거리를 L0L0라 할 때 L0=V⋅ΔtL0=V⋅Δt 로 수명 ΔtΔt가 팽창하는 효과가 생긴다. 처음 뮤온이 떨어지기 시작한 위치와 지상까지의 위치는 변하지 않았으므로 고정이지만, 관측자에 대하여 움직이는 좌표계의 시간은 팽창한다는 시간 팽창에 의해 뮤온의 수명 ΔtΔt가 팽창하게 된다.

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