18) 상대론적 힘
앞서 살펴보았던 상대론적 운동량을 가지고 상대론적 힘을 유도해보자. 뉴턴의 운동 법칙
$$F = \frac{dp}{dt}$$ 로부터
$$F = \frac{dp}{dt} = \frac{d}{dt}(\gamma m_0 v) = m_0 v \frac{d\gamma}{dt} + \gamma m_0 \frac{dv}{dt} \\ = m_0 v [-\frac{1}{2}(1 - \frac{v^2}{c^2})^{-\frac{3}{2}} \cdot (-\frac{2v}{c^2})\frac{dv}{dt}] + \gamma m_0 a \\ = \gamma m_0 a (\frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}}) = \gamma ^3 m_0 a = \gamma F_0 \\ \Longrightarrow F = \gamma ^3 F_0$$ 을 얻는다. 이때 $F$는 상대론적 힘, $F_0$는 고전적 힘이다. 역시 마찬가지로 물체의 속도 $v$가 광속에 비해 그 크기가 매우 작은 경우 상대론적 힘은 고전적 힘으로 환원된다.
19) 질량 - 에너지 등가성
오늘날 많은 사람들에게 널리 알려진, 그 유명한 질량 - 에너지 동등성 '$E = mc^2$'에 대해 살펴보자. 기적의 해 1905년, 아인슈타인은 일 - 운동에너지 정리
$$\Delta K = \int_{C} F \cdot ds$$ 를 사용해 상대론적인 운동에너지를 구하였다.
우선 정지질량 $m_0$를 가지는 물체에 대한 운동에너지 $K_0$를 다음과 같이 정의하자.
$$K_0 = \frac{1}{2}m_0 v^2$$
이제 일 - 운동에너지 정리를 사용하자. 위에서 살펴본 상대론적 힘을 대입하면 다음과 같다.
$$\Delta K = \int_{C} F \cdot ds = \int_{0}^{s} F ds = \int_{0}^{s} \frac{d(\gamma m_0 v)}{dt} ds = \int_{0}^{s} v d(\gamma m_0 v) \\ = \int_{0}^{s} v d(\frac{m_0 v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}})$$
위 식을 부분적분 해준 뒤 $\frac{v^2}{c^2} = z$ 로 치환해 적분하면
$$\Delta K = \int_{0}^{s} v d(\frac{m_0 v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}) = \frac{m_0 v^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - m_0 \int_{0}^{v} v \frac{dv}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \\ = \gamma m_0 v^2 + [m_0 c^2 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}]_{0}^{v} = \gamma m_0 v^2 + \frac{1}{\gamma} m_0 c^2 - m_0 c^2 \\ = m_0(\gamma v^2 + \frac{c^2}{\gamma}) - m_0 c^2 = m_0 \frac{\frac{v^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}} + c^2}{\gamma} - m_0 c^2 = \gamma m_0 c^2 - m_0 c^2$$ 을 얻게 된다.
이제 총 에너지 $E$를 다음과 같이 정의하자.
$$E := \gamma m_0 c^2 = m_0 c^2 + \Delta K$$ 이 식을 '질량 - 에너지 등가성'(Mass - Energey Equivalence)라고 부른다.
만약 물체가 정지상태에 있다면 운동에너지의 변화량은 0 이므로
$$E_0 = m_0 c^2$$ 을 얻는다. 이때의 에너지 $E_0$를 '정지 에너지'라고 부른다. 즉, 정지한 물체도 질량을 가지고 있다면, 에너지를 가지고 있다. 오늘날 사람들에게 알려진 질량 - 에너지 등가성의 공식 '$E = mc2$'은 정지 에너지의 경우로, 좀 더 일반적으로 작성하면 위와 같은 형태로 쓸 수 있다.
질량 - 에너지 등가성은 질량과 에너지는 서로 독립적인 양이 아닌, 서로 다른 형태의 본질적으로 같은 양이라는 것을 말해준다. 질량은 에너지가 변하는 만큼 생기며, 그 반대도 마찬가지다.
마찬가지로 상대론적으로 나타낸 운동 에너지의 변화
$$\Delta K = \gamma m_0 c^2 - m_0 c^2$$ 는 물체의 속도 $v$의 크기가 광속에 비해 매우 작은 경우 앞서 정의했던 고전적인 운동 에너지 $K_0$로 환원되야 한다. 위 식에 이항정리
$$(1 + x)^n \simeq 1 + nx$$ 를 적용하면 다음과 같이 고전적인 운동 에너지를 얻을 수 있다.
$$\Delta K = \gamma m_0 c^2 - m_0 c^2 = m_0 c^2 ((1 - \frac{v^2}{c^2})^{- \frac{1}{2}} - 1) \\ \simeq m_0 c^2 ((1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{v^2}{c^2}) - 1) = \frac{1}{2}m_0 v^2$$