18) 상대론적 힘
앞서 살펴보았던 상대론적 운동량을 가지고 상대론적 힘을 유도해보자. 뉴턴의 운동 법칙
F=dpdt 로부터
F=dpdt=ddt(γm0v)=m0vdγdt+γm0dvdt=m0v[−12(1−v2c2)−32⋅(−2vc2)dvdt]+γm0a=γm0a(11−v2c2)=γ3m0a=γF0⟹F=γ3F0 을 얻는다. 이때 F는 상대론적 힘, F0는 고전적 힘이다. 역시 마찬가지로 물체의 속도 v가 광속에 비해 그 크기가 매우 작은 경우 상대론적 힘은 고전적 힘으로 환원된다.
19) 질량 - 에너지 등가성
오늘날 많은 사람들에게 널리 알려진, 그 유명한 질량 - 에너지 동등성 'E=mc2'에 대해 살펴보자. 기적의 해 1905년, 아인슈타인은 일 - 운동에너지 정리
ΔK=∫CF⋅ds 를 사용해 상대론적인 운동에너지를 구하였다.
우선 정지질량 m0를 가지는 물체에 대한 운동에너지 K0를 다음과 같이 정의하자.
K0=12m0v2
이제 일 - 운동에너지 정리를 사용하자. 위에서 살펴본 상대론적 힘을 대입하면 다음과 같다.
ΔK=∫CF⋅ds=∫s0Fds=∫s0d(γm0v)dtds=∫s0vd(γm0v)=∫s0vd(m0v√1−v2c2)
위 식을 부분적분 해준 뒤 v2c2=z 로 치환해 적분하면
ΔK=∫s0vd(m0v√1−v2c2)=m0v2√1−v2c2−m0∫v0vdv√1−v2c2=γm0v2+[m0c2√1−v2c2]v0=γm0v2+1γm0c2−m0c2=m0(γv2+c2γ)−m0c2=m0v21−v2c2+c2γ−m0c2=γm0c2−m0c2 을 얻게 된다.
이제 총 에너지 E를 다음과 같이 정의하자.
E:=γm0c2=m0c2+ΔK 이 식을 '질량 - 에너지 등가성'(Mass - Energey Equivalence)라고 부른다.
만약 물체가 정지상태에 있다면 운동에너지의 변화량은 0 이므로
E0=m0c2 을 얻는다. 이때의 에너지 E0를 '정지 에너지'라고 부른다. 즉, 정지한 물체도 질량을 가지고 있다면, 에너지를 가지고 있다. 오늘날 사람들에게 알려진 질량 - 에너지 등가성의 공식 'E=mc2'은 정지 에너지의 경우로, 좀 더 일반적으로 작성하면 위와 같은 형태로 쓸 수 있다.
질량 - 에너지 등가성은 질량과 에너지는 서로 독립적인 양이 아닌, 서로 다른 형태의 본질적으로 같은 양이라는 것을 말해준다. 질량은 에너지가 변하는 만큼 생기며, 그 반대도 마찬가지다.
마찬가지로 상대론적으로 나타낸 운동 에너지의 변화
ΔK=γm0c2−m0c2 는 물체의 속도 v의 크기가 광속에 비해 매우 작은 경우 앞서 정의했던 고전적인 운동 에너지 K0로 환원되야 한다. 위 식에 이항정리
(1+x)n≃1+nx 를 적용하면 다음과 같이 고전적인 운동 에너지를 얻을 수 있다.
ΔK=γm0c2−m0c2=m0c2((1−v2c2)−12−1)≃m0c2((1+12⋅v2c2)−1)=12m0v2