Hyperbolic Function(쌍곡선 함수)

Definitions 1. $\text{sinh} x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \qquad \text{csch} x = \frac{1}{\text{sinh} x} \\ \text{cosh} x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \qquad \text{sech} x = \frac{1}{\text{cosh} x} \\ \text{tanh} x = \frac{\text{sinh} x}{\text{cosh} x} \qquad \text{coth} x = \frac{\text{cosh} x}{\text{sinh} x}$

중심이 원점이고 반지름이 1인 원, 즉 단위원이 좌표평면 상에 있을 때 직각삼각형을 만들어서 각도에 따라 값이 변하는 cos, sin 값을 이용해 원 위의 점을 표현할 수 있었다. 이것으로 삼각함수 $y = \text{cos} x, y = \text{sin} x$ 가 정의되었다.

즉, 단위원 $x^2 + y^2 = 1$ 을 통해서 삼각함수가 도입되었다고 할 수 있다. 그런데 이번엔, 이와 형태가 비슷한 '단위쌍곡선'^[각주:1] $x^2 - y^2 = 1$ 을 통해서도 새로운 함수를 도입하고자 하는 시도를 할 수 있다.

그런데 삼각함수처럼 각도로 쌍곡선 함수를 정의하기에는 어려워 보이는데, 단위쌍곡선에서 점근선의 기울기는 1 or -1 이므로 $\frac{\pi}{4} + n \pi \leq \theta \leq \frac{3 \pi}{4} + n \pi \,(\forall n \in \mathbb{Z})$ 의 영역에 대해서는 함수를 정의할 수 없기 때문이다. 따라서 쌍곡선으로부터 도출되는 새로운 함수는 넓이로 정의된다.

단위원에서 중심과 원 위의 한 점을 이은 선분이 $x$ 축과 이루는 각도가 $\theta$ 일 때 부채꼴의 넓이는 $\frac{\theta}{2}$ 이다. 동일하게 단위쌍곡선에서 중심과 쌍곡선 위의 한 점을 이은 선분이 $x$ 축과 이루는 각도가 $\theta$ 일 때, Figure 1과 같이 어두운 부분의 넓이가 가 되도록 할 때의 쌍곡선 위의 한 점의 좌표를 쌍곡선 함수로 정의하자는 것이다. 이때 $x = \text{cosh} \theta, y = \text{sinh} \theta$ 로 표기하자. 따라서 정의에 의해 $\text{cosh}^2 \theta - \text{sinh}^2 \theta = 1$ 이 성립함을 알 수 있다.

Remark. $1. \text{cosh}^2 x - \text{sinh}^2 x = 1 \\ 2. 1 - \text{tanh}^2 x = \text{sech}^2 x$

이제 구체적으로 쌍곡선 함수를 유도해보자. 우선 Figure 1에서 어두운 부분의 넓이인 를 구하기 위해서는 직각삼각형에서 쌍곡선을 적분한 영역을 빼면 된다. 원점을 지나고 기울기가 0보다 크고 1보다 작은 직선 $y = mx (0 < m < 1)$ 을 정의하자. 이때 이 직선과 $x$ 축이 이루는 각도는 $\theta$ 이다.

그리고 쌍곡선 $x^2 - y^2 = 1$ 과 직선을 연립하면 다음의 식을 얻을 수 있다.

즉 쌍곡선 함수로 나타내면 다음과 같다. $x = \text{cosh} \theta = \frac{1}{\sqrt{1-m^2}} \\ y = \text{sinh} \theta = \frac{m}{\sqrt{1-m^2}}$

원점과 점 $A$ , 점 $A$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발로 만든 직각삼각형의 넓이는 다음과 같다. $S = \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{1-m^2}} \times \frac{m}{\sqrt{1-m^2}} = \frac{m}{2(1-m^2)}$

그리고 쌍곡선을 적분한 값은 다음과 같다. $S = \int_{1}^{\frac{1}{\sqrt{1-m^2}}} \sqrt{x^2 - 1} \, dx = \frac{1}{2} (\frac{m}{1-m^2})$

적분은 $x = \text{sec} t$ 로 둔 뒤 치환적분으로 쉽게 풀 수 있다. 자세한 과정은 올려둔 파일을 참조하길 바란다.

이 두 넓이를 뺀 값은 정의에 의해 $\frac{\theta}{2}$ 가 된다. 계산 과정은 다음과 같다. $(\frac{m}{2(1-m^2)}) - \frac{1}{2} (\frac{m}{1-m^2} - ln(\frac{m+1}{\sqrt{1-m^2}})) = \frac{\theta}{2} \\ ln(\frac{m+1}{\sqrt{1-m^2}}) = \theta \\ e^\theta = \frac{m+1}{\sqrt{1-m^2}} = \text{cosh} \theta + \text{sinh} \theta$

이때 마지막 식의 양변에 $\text{cosh} \theta - \text{sinh} \theta$ 를 곱해서 얻은 식을 연립하고 정리하면 최종적으로 쌍곡선 함수의 식을 얻을 수 있다. $\text{cosh} \theta + \text{sinh} \theta = e^\theta \\ \Longrightarrow (\text{cosh} \theta - \text{sinh} \theta)(\text{cosh} \theta + \text{sinh} \theta) = \text{cosh}^2 \theta - \text{sinh}^2 \theta = 1 = e^\theta (\text{cosh} \theta - \text{sinh} \theta) \\ \Longrightarrow \text{cosh} \theta - \text{sinh} \theta = e^{- \theta} \\ \Longrightarrow \text{cosh} \theta = \frac{e^\theta + e^{- \theta}}{2}, \text{sinh} \theta = \frac{e^\theta - e^{- \theta}}{2}$