The Eigenspace

The Eigenspace

Definition 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$, and let $\lambda$ be an eigenvalue of $T$. The eigenspace of $T$ corresponding to $\lambda$ is the set $E_{\lambda} = N(T - \lambda I_V) = \{x \in V \,|\, T(x) = \lambda x\}$. 
Analogously, we define the eigenspace of a square matrix $A$ to be the eigenspace of $L_A$.

    즉 주어진 고유벡터 $\lambda$에 대응하는 고유공간 $E_{\lambda}$는 $\lambda$에 대응하는 고유벡터들과 영벡터의 집합이다. 따라서 어떤 영이 아닌 벡터가 $\lambda$의 고유벡터라는 말은 $E_{\lambda}$에 속한다는 것과 동치이다.

Theorem 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$, and let $\lambda$ be an eigenvalue of $T$. Then a nonzero vector $\mathbb{0} \neq v \in V$ is an eigenvector of $T$ corresponding to $\lambda$ $\iff$ $v \in E_{\lambda}$.