Unitary, Orthogonal Matrix

Unitary, Orthogonal Matrix

Definition 1. Let $A \in M_{n \times n}(F)$. Then $A$ is called a unitary matrix if $A^*A = AA^* = I$ and is called an orthogonal matrix if $A^tA = AA^t = I$.

Theorem 1에 근거해 unitary 혹은 orthogonal 행렬의 정의를 위와 같이 할 수 있다.

Remark

Remark. $AA^* = I$ [$A^*A = I$] $\iff$ the rows [columns] of $A$ form an orthonormal basis for $F^n$.
($\because$) $\delta_{ij} = I_{Ij} = (AA^*)_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik}A^*_{kj} = \sum_{k=1}^n A_{ik} \overline{A_{jk}} = \langle [A]_i, [A]_j \rangle$ where $[A]_i$ is the $i$th row of $A$.  

즉 어떤 행렬 $A$가 unitary라면 각 행들의 집합과 열들의 집합은 모두 $F^n$의 orthonormal basis가 되야 함을 알 수 있다.