Open Set과 Closed Set의 관계

Theorem 1. A set $O$ is open $\iff$ $O^c$ is closed. Likewise, a set $F$ is closed $\iff$ $F^c$ is open.

Proof. $(\Longrightarrow)$ $O$가 open이라고 하자. $x$를 $O^c$의 limit point라고 하면, $x$의 어떤 근방을 가지고 와도 항상 $O^c$와 겹치는 부분이 존재하므로 $x \in O^c$이다. ($\because$ 만약 $x \in O$이면 $x$의 어떤 근방이든 항상 $O$에 완전히 포함되므로 $O^c$와 겹치는 부분이 생길 수 없다.) 따라서 $O^c$는 closed이다.
$(\Longleftarrow)$ $O^c$가 closed라고 하자. $a \in O$를 가져온 뒤 $a$의 임의의 근방을 생각하자. 이때 만약 이 근방이 $O^c$와 겹치는 부분이 존재한다면 $a$는 $O^c$의 limit point이므로 $a \in O^c$이고, 이는 모순이다. 따라서 $a$의 어떤 근방을 잡더라도 결코 $O^c$와 겹치치 않으므로, 다시 말해 완전히 $O$에 포함되므로 $O$는 open이다. 

두 번째 명제의 경우 $F = O^c$로 택하면 첫 번째 명제에 의해 자명하게 성립한다. $\blacksquare$

open과 closed는 상호배타적인 개념은 아니지만, 그 집합의 여집합과는 상호배타적이라고 할 수 있다.