Maximum and Minimum

Absolute Maximum and Minimum

Definition 1. Let $c$ be a number in the domain $D$ of a function $f$. Then $f(c)$ is the
(1) absolute maximum value of $f$ on $D$ if $f(c) \geq f(x), \forall x \in D$.
(2) absolute minimum value of $f$ on $D$ if $f(c) \leq f(x), \forall x \in D$.

$f$의 maximum과 minimum은 extreme value of $f$, 즉 $f$의 극값이라고 부르기도 한다. 

 

Local Maximum and Minimum

Definition 2. The number $f(c)$ is a 
(1) local maximum value of $f$ if $f(c) \geq f(x)$ when $x$ is on some open interval containing $c$.
(2) local minimum value of $f$ if $f(c) \leq f(x)$ when $x$ is on some open interval containing $c$.

자연스럽게 local value는 구간의 endpoint에서는 발생할 수 없음을 알 수 있다. 

The Extreme Value Theorem

Theorem. If $f$ is continuous on a closed interval $[a, b]$, then $f$ attains an absolute maximum value $f(c)$ and an absolute minimum value $f(d)$ at some numbers $c$ and $d$ in $[a, b]$.

최대 최소 정리라고도 불리는 이 정리는 연속 함수가 absolute maximum, minimum을 반드시 가짐을 보장해준다.