Solid의 volume을 definite integral을 이용해 구할 수 있다. 주어진 solid가 어떤 모양인지에 따라 쉽게 계산할 수 있는 여러 가지 방법이 있다. 먼저 Cross-section, 다시 말해 단면을 이용해 solid의 부피를 구하는 방법을 알아보자.
우선 definite integral에서 면적의 넓이를 구간을 잘게 쪼개 partition의 norm이 0으로 가는 극한을 취하여 얻었듯이, volume도 마찬가지로 norm이 0으로 가게 구간을 잘게 짜르고, 이 subinterval의 길이가 축에 perpendicular하게 cross-section으로 자른 slab의 각각의 높이가 된다. 여기에 cross-section의 면적을 곱한 값의 Riemann sum이 수렴하는 값이 바로 우리가 원하는 volume임을 알 수 있다.
Volume of Solids Using Cross-Sections
Definition 1. The volume of a solid of integrable cross-sectional area $A(x)$ from $x=a$ to $x=b$ is the integral of $A$ from $a$ to $b$, $$V = \int_{a}^{b} A(x) dx.$$
평범한 모양의 solid는 cross-section을 짤라서 그 면적의 definite integral을 구해주면 되지만, 특정 모양의 solid는 더 쉬운 방법으로 구할 수 있다. 특정 평면 도형을 회전시켜서 얻은 a solid of revolution, 즉 회전체는 cross-section이 모두 원이기 때문에 단면적을 단순히 원의 넓이로 계산하면 된다.
이때 회전시켰을 때 평면 도형이 회전축에 닿지 않는 경우도 생기는데, 이 경우 단면적은 단순한 원이 아니라 가운데 구멍이 뚫린 원이 된다. 따라서 (큰 원의 면적) - (작은 원의 면적) = $\pi${(큰 원 반지름)$^2$ - (작은 원 반지름)$^2$}으로 계산해야 한다.
Volume of Solids Using The Shell Method
간혹 일반적인 방법으로 단면적을 구하여 계산하기 어려운 형태의 solid가 존재한다. 이러한 경우 단면적이 아닌 cylindrical shell, 다시 말해 solid를 원통 껍질 모양의 도형들로 잘게 쪼개 더하면 쉽게 계산될 가능성이 있다. 구체적인 공식은 다음과 같다.
The volume of the solid generated by revolving the region between the $x$-axis and the graph of a continuous function $y=f(x) \geq 0, L \leq a \leq x \leq b$, about a vertical line $x = L$ is $$V = \int_a^b 2\pi (x - L) f(x) dx.$$