Arc Length
면적이나 부피와 마찬가지로 partition의 norm이 0으로 가는 극한을 취하기 위해 주어진 구간을 잘게 쪼갠다. 각 구간의 양 끝점을 잇는 line segments의 길이를 구하여 n∑k=1√(Δxk)2+(Δyk)2n∑k=1√(Δxk)2+(Δyk)2와 같이 합을 취해주자. (Δxk=xk−xk−1,Δyk=f(xk)−f(xk−1)Δxk=xk−xk−1,Δyk=f(xk)−f(xk−1))
이때 Mean Value Theorem에 의해 Δyk=f′(ck)Δxk를 만족하는 ck가 (xk−1,xk)에 존재한다. 따라서 위 합을 Riemann sum으로 표현한 뒤 극한을 취하면 우리가 원하는 definite integral의 형태가 된다.
Definition 1. If f′ is continuous on [a,b], then the arc length of the curve y=f(x) from A=(a,f(a)) to B=(b,f(b)) is the value of the integral L=∫ba√1+[f′(x)]2dx=∫ba√1+(dydx)2dx.
Areas of Surfaces of Revolution
위에서 얻은 arc length의 공식을 가지고 revolution의 겉넓이를 구할 수 있다. 동일하게 작은 line segments로 잘게 쪼개고 그 length를 구할 수 있다. 이제 어떤 축에 대하여 회전을 하게 되는데, 이때 만들어진 회전체는 일종의 band, 다시 말해 frustum of a cone이 된다. 이 band의 겉넓이는 윗면과 아랫면의 반지름의 평균으로 구한 원주와 line segment의 length의 곱으로 구할 수 있다. 이제 합을 취하면 n∑k=12πf(xk−1+f(xk))2√(Δxk)2+(Δyk)2이고, 마찬가지로 Mean Value Theorem에 의해 Δyk=f′(ck)Δxk으로 쓸 수 있다. 이제 문제는 f(xk−1+f(xk))2과 ck가 같지 않으므로 definite integral으로 쓸 수 없다는 점인데, partition의 norm이 0으로 가는 극한을 취하면 xk−1,ck,xk는 매우 가까워져 한 점으로 수렴하게 될 것이라고 예측할 수 있다. 따라서 다음과 같은 공식을 얻게 된다.
Definition 2. If the function f(x)≥0 is continuously differentiable on [a,b], the area of the surface generated by revolving the graph of y=f(x) about the x-axis is S=∫ba2πf(x)√1+(f′(x))2dx=∫ba2πy√1+(dydx)2dx.