Arc Length
면적이나 부피와 마찬가지로 partition의 norm이 0으로 가는 극한을 취하기 위해 주어진 구간을 잘게 쪼갠다. 각 구간의 양 끝점을 잇는 line segments의 길이를 구하여 $$\sum_{k=1}^n \sqrt{(\Delta x_k)^2 + (\Delta y_k)^2}$$와 같이 합을 취해주자. ($\Delta x_k = x_k - x_{k-1}, \Delta y_k = f(x_k) - f(x_{k-1})$)
이때 Mean Value Theorem에 의해 $\Delta y_k = f'(c_k) \Delta x_k$를 만족하는 $c_k$가 $(x_{k-1}, x_k)$에 존재한다. 따라서 위 합을 Riemann sum으로 표현한 뒤 극한을 취하면 우리가 원하는 definite integral의 형태가 된다.
Definition 1. If $f'$ is continuous on $[a, b]$, then the arc length of the curve $y=f(x)$ from $A = (a, f(a))$ to $B = (b, f(b))$ is the value of the integral $$L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx = \int_a^b \sqrt{1 + \left ( \frac{dy}{dx} \right)^2} dx.$$
Areas of Surfaces of Revolution
위에서 얻은 arc length의 공식을 가지고 revolution의 겉넓이를 구할 수 있다. 동일하게 작은 line segments로 잘게 쪼개고 그 length를 구할 수 있다. 이제 어떤 축에 대하여 회전을 하게 되는데, 이때 만들어진 회전체는 일종의 band, 다시 말해 frustum of a cone이 된다. 이 band의 겉넓이는 윗면과 아랫면의 반지름의 평균으로 구한 원주와 line segment의 length의 곱으로 구할 수 있다. 이제 합을 취하면 $$\sum_{k=1}^n 2\pi \frac{f(x_{k-1} + f(x_k))}{2} \sqrt{(\Delta x_k)^2 + (\Delta y_k)^2}$$이고, 마찬가지로 Mean Value Theorem에 의해 $\Delta y_k = f'(c_k) \Delta x_k$으로 쓸 수 있다. 이제 문제는 $\frac{f(x_{k-1} + f(x_k))}{2}$과 $c_k$가 같지 않으므로 definite integral으로 쓸 수 없다는 점인데, partition의 norm이 0으로 가는 극한을 취하면 $x_{k-1}, c_k, x_k$는 매우 가까워져 한 점으로 수렴하게 될 것이라고 예측할 수 있다. 따라서 다음과 같은 공식을 얻게 된다.
Definition 2. If the function $f(x) \geq 0$ is continuously differentiable on $[a, b]$, the area of the surface generated by revolving the graph of $y = f(x)$ about the $x$-axis is $$S = \int_a^b 2\pi f(x) \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx = \int_a^b 2\pi y \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} dx.$$