Sequences

Sequence, 즉 수열은 숫자들의 나열이라고 정의할 수 있고 $$\{a_n\}_{n=1}^\infty$$ 로 표기되는 무한수열은 정의역이 자연수인 함수로 간주할 수 있다.

Convergence and Divergence of Sequences

Definition 1. The sequence $\{ a_n \}$ converges to the number $L$ if for every positive number $\epsilon$ there corresponds an integer $N$ such that for all $n$, $$n > N \Longrightarrow |a_n - L| < \epsilon.$$ If no such number $L$ exists, we say that $\{ a_n \}$ diverges. If $\{ a_n \}$ converges to $L$, we write $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = L$, or simply $a_n \rightarrow L$, and call $L$ the limit of the sequence.

Definition 2. The sequence $\{ a_n \}$ diverges to infinity if for every number $M$ there is an integer $N$ such that for all $n$ larger than $N$, $a_n > M$. If this condition holds we write $$\lim_{a \rightarrow \infty} a_n = \infty \text{  or  } a_n \rightarrow \infty.$$ Similarly, if for every number $m$ there is an integer $N$ such that for all $n > N$ we have $a_n < m$, then we say $\{ a_n \}$ diverges to negative infinity and write $$\lim_{a \rightarrow \infty} a_n = - \infty \text{ or } a_n \rightarrow - \infty.$$

함수의 극한과 마찬가지로 수열의 극한도 동일한 방법으로 정의된다. 다만 차이가 있다면 수열은 정의역이 자연수 집합이므로 특정 $N$보다 큰 $n$에 대해서 수열과 극한값의 차이가 $\epsilon$보다 작음을 보이면 된다. 정의에서 알 수 있듯이 극한을 조사하고자 하는 수열의 초기 항들 일부를 덜어버리더라도 극한에는 영향을 미치지 못한다. 즉 극한은 직관적으로 수열의 "끝쪽"이 어떻게 거동하느냐에 따라 결정된다고 말할 수 있다. 

Calculating Limits of Sequences

Theorem 1. Let $\{ a_n \}$ and $\{ b_n \}$ be sequences of real numbers, and let $A$ and $B$ be real numbers. The following rules hold if $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = A$ and $\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = B$:
(1) $\lim_{n \rightarrow \infty} (a_n + b_n) = A + B$
(2) $\lim_{n \rightarrow \infty} (a_n - b_n) = A - B$
(3) $\lim_{n \rightarrow \infty} (k \cdot a_n) = k \cdot A$ (any number $k$)
(4) $\lim_{n \rightarrow \infty} (a_n \cdot b_n) = A \cdot B$
(5) $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}$ if $B \neq 0$

Collorary

Collorary. Every nonzero multiple of a divergent sequence diverges.

Proof. Suppose that $\{ c a_n \}$ converges for some number $c \neq 0$. Then, by taking $k = \frac{1}{c}$, we see that the sequence $$\{ \frac{1}{c} \cdot ca_n \} = \{ a_n \}$$ converges. Thus, $\{ ca_n \}$ cannot converge unless $\{ a_n \}$ also converges. $\blacksquare$

Squeeze Theorem for Sequences

Theorem 2. Let $\{ a_n \}$, $\{ b_n \}$, and $\{ c_n \}$ be sequences of real numbers. If $a_n \leq b_n \leq c_n$ holds for all $n$ beyond some index $N$, and if $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} c_n = L$, then $\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = L$ also.

Corollary

Corollary 2. If $|b_n| \leq c_n$ and $c_n \rightarrow 0$, then $b_n \rightarrow 0$.

The Continous Function Theorem for Sequences

Theorem 3. Let $\{ a_n \}$ be a sequence of real numbers. If $a_n \rightarrow L$ and if $f$ is a function that is continuous at $L$ and defined at all $a_n$, then $f(a_n) \rightarrow f(L)$.

Theorem 4

Theorem 4. Suppose that $f$ is a function defined for all $x \geq n_0$ and that $\{ a_n \}$ is a sequence of real numbers such that $a_n = f(n)$ for $n \geq n_0$. Then $$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = L \Longrightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = L.$$

Proof. Since $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = L$, for all $\epsilon >0$, there is a natural number $M > 0$ such that $\forall x \geq n_0, x > M \Longrightarrow |f(x) - L| < \epsilon$. Let take $N$ by $N > M$. Then $\forall n \geq n_0, n > N \Longrightarrow |a_n - L| = |f(n) - L| < \epsilon$, meaning that $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = L$. $\blacksquare$

위 정리들은 복잡한 수열의 극한을 함수의 영역으로 옮겨서 해결할 수 있음을 시사한다. 정의역이 이산적인 자연수 공간이 아니라 연속적인 실수 공간으로 자리를 옮기게 되면 여러 유용한 정리를 사용할 수 있는데, 그 중 대표적인 것 하나가 바로 로피탈 정리이다. 아래 list는 위 사실들을 사용하여 밝혀 놓은 여러 수열의 극한들이다. 

Commonly Occurring Limits

Theorem 5. The following six sequences converge to the limits listed below:
(1) $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\text{ln } n}{n} = 0$ 
(2) $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n} = 1$
(3) $\lim_{n \rightarrow \infty} x^{\frac{1}{n}} = 1 (x > 0)$
(4) $\lim_{n \rightarrow \infty} x^n = 0 (|x| < 1)$
(5) $\lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n = e^x$ (any $x$)
(6) $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{x^n}{n!} = 0$ (any $x$)
In Formulas (3) through (6), $x$ remains fixed as $n \rightarrow \infty$.