Indeterminate Forms and L'Hospital's Rule

Indeterminate Forms

종종 극한을 계산할 때 $\frac{0}{0}$, 혹은 $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty \cdot 0, \infty - \infty, 0^0, 1^{\infty}$와 같은 꼴로 나타날 때가 있다. 이러한 형태의 극한은 명백한 어느 한 값으로 수렴한다고 단정 짓기 어려우며, 따라서 이런 형태들을 indeterminate forms, 즉 부정형이라고 한다. 

L'Hospital's Rule

로피탈의 정리는 이러한 부정형을 계산하는 방법 중 하나이다. 

Theorem 1. Suppose that $f(a) = g(a) = 0$, that $f$ and $g$ are differentiable on an open interval $I$ containing $a$, and that $g'(x) \neq 0$ on $I$ if $x \neq a$. Then $$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)},$$ assuming that the limit on the right side of this equation exists. 

쉽게 계산이 되지 않는, 즉 부정형의 꼴로 나타나는 극한의 경우 계산이 용이한 형태가 나올 때까지 로피탈의 정리를 반복해서 사용하면 계산이 용이해진다. 주의할 점은 부정형이 아닌 경우에는 로피탈의 정리를 사용하면 안된다.

로피탈 정리는 $\frac{0}{0}$ 꼴 만이 아니라 $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴에도 적용될 수 있고, one-sided limit, 그러니까 $x \rightarrow a^+$ 혹은 $x \rightarrow a^-$일 때도 적용될 수 있다. 다른 꼴의 부정형들은 대수적인 조작을 통해서 $\frac{0}{0}$이나 $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴로 바꿔서 로피탈 정리를 적용하면 된다. 혹은 아래와 같은 trick을 사용해도 된다.

If $\lim_{x \rightarrow a} \text{ln } f(x) = L$, then $$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \lim_{x \rightarrow a} e^{\text{ln } f(x)} = e^L.$$ Here $a$ may be either finite or infinite. It is also valid for one-sided limits.