Partial Derivative

Partial Derivative

Definition 1. The partial derivative of $f(x, y)$ with respect to $x$ at the point $(x_0, y_0)$ is $$\frac{\partial f}{\partial x} \Bigg|_{(x_0, y_0)} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h},$$ provided the limit exists. The partial derivative with respect to $y$ is defined in the same way.

특정 변수를 상수로 취급하고 한 변수만 다룬다는 의미에서 편미분이라고 말한다. 기호로는 $\frac{\partial f}{\partial x}$, $f_x$, $\partial_x f$등이 혼용되며, SAMICO에서는 특별한 경우가 아닌 한 $\partial_x f$로 사용한다.

Clairaut's Theorem

Theorem 1. If $f(x, y)$ and its partial derivatives $\partial_x f, \partial_y f, \partial_{xy} f$, and $\partial_{yx} f$ are defined throughout an open region containing a point $(a, b)$ and are all continuous at $(a, b)$, then $$\partial_{xy} f(a, b) = \partial_{yx} f(a, b).$$

다시 말해 연속이 보장되어 있다면 편미분의 순서에 상관없이 값은 항상 같다.

Differentiability

Definition 2. A function $z = f(x, y)$ is differentiable at $(x_0, y_0)$ if $\partial_x f(x_0, y_0)$ and $\partial_y f(x_0, y_0)$ exist and $\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)$ satisfies an equation of the form $$\Delta z = \partial_x f(x_0, y_0) \Delta x + \partial_y f(x_0, y_0) \Delta y + \varepsilon_1 \Delta x + \varepsilon_2 \Delta y$$ in which each of $\varepsilon_1, \varepsilon_2 \to 0$ as both $\Delta x, \Delta y \to 0$. We call $f$ differentiable if it is differentiable at every point in its domain, and say that its graph is a smooth surface.

Single variable에서는 특정 point에서 derivative가 값을 가지면 미분가능이라고 정의했었다. 그러나 multi variable에서는 partial derivative가 어떤 점에서 존재하고 값을 가진다고 해서 미분가능이라고 정의할 수는 없는데, 다음과 같은 case가 있기 때문이다. $$f(x, y) = \begin{cases} 0, \text{    } xy \neq 0 \\ 1, \text{    } xy = 0 \end{cases}$$

Thomas Calculus 14e 781p.

이 함수는 분명히 $\partial_x f$와 $\partial_y f$가 원점에서 0이라는 값으로 존재한다. 그러나 $y=x$라는 line과 $x = 0$ 혹은 $y=0$이라는 line을 따라 $f(x, y)$의 $(0, 0)$에서의 극한을 조사해보면 각각 0과 1로 다른 값이 나온다. 따라서 $f(x, y)$는 $(0, 0)$에서 극한이 존재하지 않고, 따라서 연속이 아니다. 이처럼 partial derivative의 존재만으로는 연속임을, 나아가 미분가능함을 정의하기에는 충분하지 않음을 알 수 있다. 

 

그렇다면 어떤 조건이 더 필요할까? Derivative의 존재성만으로 differentiability를 보장할 수 없다면, differentiable한 함수의 특징 중 하나를 조건으로 넣어 더 강하게 만들어주어야 한다. 이때, single variable에서 미분가능한 함수의 특징 중 하나로 linearization을 상기하라. 그렇다면 multi variable에서는 어떤 함수가 linearization이 가능하고 partial derivative를 가진다면 differentiable하다고 정의하자, 라는 주장을 정리한 것이 위 정의이다. (물론 two-variable에서는 linear가 아닌 planar하므로 linearization 대신 planarization(?)이라고 불러야 할 것 같긴 하다)

Theorem 2

Theorem 2. If the partial derivatives $\partial_x f$ and $\partial_y f$ of a function $f(x, y)$ are continuous throughout an open region $R$, then $f$ is differentiable at every point of $R$. 

Theorem 3

Theorem 3. If a function $f(x, y)$ is differentiable at $(x_0 , y_0)$, then $f$ is continuous at $(x_0 , y_0)$.