[네냐플 님의 블로그 포스트를 참고해서 작성하였습니다.]
Problem
Problem. $E = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \, | \, x^2 + y^2 +z^2 \leq 1 \}$일 때, $$\iiint_E \lfloor x + y+ z \rfloor dV$$의 값을 구하시오. (단, $\lfloor x \rfloor$는 $x$를 넘지 않는 최대의 정수이다.)
Solution
$E$는 반지름이 1이며 경계면을 포함하여 속이 꽉 찬 ball이다. $\lfloor x + y + z \rfloor$을 direct하게 적분하기란 쉽지 않다. 최대 정수 함수는 정수만을 값으로 가지므로, 주어진 영역 $E$ 안에서 $\lfloor x + y + z \rfloor$이 정수 중에서 어떤 값을 가질 수 있는지 파악하고, 그 값들에 대해서 각각 적분을 하자.
범위를 파악하기 위해 Cauchy-Schwarz inequality를 사용하면 다음과 같다. $$x + y + z \leq (x^2 + y^2 + z^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) \leq 3 \\ (\because \, x^2 + y^2 + z^2 \leq 1)$$ 따라서 $- \sqrt{3} \leq x+y+z \leq \sqrt{3}$이고, $\sqrt{3} = 1.7 \cdots$이므로 영역 $E$ 위에서 $\lfloor x + y + z \rfloor$는 $-2, -1, 0, 1$의 값을 가질 수 있다.
이제 각 정수값을 가지는 영역을 구분하면 다음과 같다. $$\begin{align} & E_1 = \{ (x, y, z) \in E \, | \, - \sqrt{3} \leq x + y + z \leq -1 \} \\ &E_2 = \{ (x, y, z) \in E \, | \, -1 \leq x + y + z \leq 0 \} \\ &E_3 = \{ (x, y, z) \in E \, | \, 0 \leq x + y + z \leq 1 \} \\ &E_4 = \{ (x, y, z) \in E \, | \, 1 \leq x + y + z \leq \sqrt{3} \} \end{align}$$ 각 영역에서 $\lfloor x + y + z \rfloor$는 $-2, -1, 0, 1$의 값을 가진다.
영역 $E_1, E_2, E_3, E_4$는 경계면을 제외하면 disjoint하여 서로 겹치지 않기 때문에 Property 3을 사용하여 각각 쪼개서 계산할 수 있다. 따라서 구하고자 하는 적분은 다음과 같다. $$\iiint_E \lfloor x + y + z \rfloor dV \\ = \iiint_{E_1} -2 dV + \iiint_{E_2} -1 dV + \iiint_{E_3} 0 dV + \iiint_{E_4} 1 dV \\ = -2V(E_1) - V(E_2) + V(E_4)$$ $V(E_n) (n = 1, 2, 3, 4)$는 각 영역 $E_n$에서의 volume을 의미한다.
이제 각 영역 $E_n$이 어떤 모양인지만 파악하면 된다. $x+y+z = a$($a$는 상수)가 평면이라는 사실을 이용하면 각 영역은 다음과 같이 분할된 영역을 가짐을 알 수 있다.
이때 대칭성에 의해 $V(E_1) = V(E_4)$이고, 따라서 구하는 적분은 $$\iiint_E \lfloor x + y + z \rfloor dV = -2V(E_1) - V(E_2) + V(E_4) \\ = - (V(E_1) + V(E_2))$$임을 알 수 있다. 이때 $V(E_1) + V(E_2)$는 반지름이 1인 반구의 부피이므로 구하고자 하는 값은 $$\iiint_E \lfloor x + y + z \rfloor dV = -\frac{2}{3} \pi$$이다.