[네냐플 님의 블로그 포스트를 참고해서 작성하였습니다.]
Problem
Problem. E={(x,y,z)∈R3|x2+y2+z2≤1}E={(x,y,z)∈R3|x2+y2+z2≤1}일 때, ∭E⌊x+y+z⌋dV∭E⌊x+y+z⌋dV의 값을 구하시오. (단, ⌊x⌋⌊x⌋는 xx를 넘지 않는 최대의 정수이다.)
Solution
EE는 반지름이 1이며 경계면을 포함하여 속이 꽉 찬 ball이다. ⌊x+y+z⌋⌊x+y+z⌋을 direct하게 적분하기란 쉽지 않다. 최대 정수 함수는 정수만을 값으로 가지므로, 주어진 영역 EE 안에서 ⌊x+y+z⌋⌊x+y+z⌋이 정수 중에서 어떤 값을 가질 수 있는지 파악하고, 그 값들에 대해서 각각 적분을 하자.
범위를 파악하기 위해 Cauchy-Schwarz inequality를 사용하면 다음과 같다. x+y+z≤(x2+y2+z2)(12+12+12)≤3(∵x2+y2+z2≤1) 따라서 −√3≤x+y+z≤√3이고, √3=1.7⋯이므로 영역 E 위에서 ⌊x+y+z⌋는 −2,−1,0,1의 값을 가질 수 있다.
이제 각 정수값을 가지는 영역을 구분하면 다음과 같다. E1={(x,y,z)∈E|−√3≤x+y+z≤−1}E2={(x,y,z)∈E|−1≤x+y+z≤0}E3={(x,y,z)∈E|0≤x+y+z≤1}E4={(x,y,z)∈E|1≤x+y+z≤√3} 각 영역에서 ⌊x+y+z⌋는 −2,−1,0,1의 값을 가진다.
영역 E1,E2,E3,E4는 경계면을 제외하면 disjoint하여 서로 겹치지 않기 때문에 Property 3을 사용하여 각각 쪼개서 계산할 수 있다. 따라서 구하고자 하는 적분은 다음과 같다. ∭E⌊x+y+z⌋dV=∭E1−2dV+∭E2−1dV+∭E30dV+∭E41dV=−2V(E1)−V(E2)+V(E4) V(En)(n=1,2,3,4)는 각 영역 En에서의 volume을 의미한다.
이제 각 영역 En이 어떤 모양인지만 파악하면 된다. x+y+z=a(a는 상수)가 평면이라는 사실을 이용하면 각 영역은 다음과 같이 분할된 영역을 가짐을 알 수 있다.
이때 대칭성에 의해 V(E1)=V(E4)이고, 따라서 구하는 적분은 ∭E⌊x+y+z⌋dV=−2V(E1)−V(E2)+V(E4)=−(V(E1)+V(E2))임을 알 수 있다. 이때 V(E1)+V(E2)는 반지름이 1인 반구의 부피이므로 구하고자 하는 값은 ∭E⌊x+y+z⌋dV=−23π이다.