Triple Integral

Triple Integral

일변수 함수의 definite integral, double integral과 다를 바 없다. 마찬가지로 rectangular region $D$를 (box 형태가 된다) $x, y, z$ 축으로 잘게 쪼개 partition을 구성하고 가장 작은 모서리를 norm으로 정의한 뒤 함수 $F(x, y, z)$의 Riemann sum을 정의한다. 이때 $k$번째 부피 조각은 $\Delta V_k = \Delta x_k \Delta y_k \Delta z_k$가 된다. 그리고 norm이 0으로 가는 극한을 취해준 뒤 partition과 point에 무관하게 극한값이 존재하면 integrable하다고 말하고, $$\iiint_D F(x, y, z) dV$$ 라고 쓴다. 

 

마찬가지로 region이 nonrectangular한 general region이어도 double integral에서와 동일한 방법으로 적분을 정의할 수 있다. Fubini's theorem 또한 double integral과 동일하게 성립한다.

Thomas Calculus 13e 894p.

Triple integral을 계산할 때 조금 까다로운 것은 region의 모양을 파악하여 limits of integration, 즉 적분의 구간을 잡아내는 일이다. Double integral까지는 익숙한 2차원에서 region을 다루므로 구간을 파악하기 그리 까다롭진 않았으나, 이제는 3차원이기 때문에 주어진 영역을 적당히 쪼개어 $x, y, z$에 관한 3차식으로 나타내고, 이 식으로 나타나는 도형이 어떤 모양인지도 파악해야 한다. 

 

으레 그렇듯이 이런 작업은 딱 정해진 공식은 없으며, $x, y, z$ 중 어떤 변수를 가장 먼저 계산할지, 혹은 주어진 모양을 쪼개기에 편한 순서는 무엇인지 스스로 파악하여 계산해야 한다. (예컨대 이런 문제도 있다) 많은 문제의 경우 우리에게 익숙한 $z$가 수직 방향인 좌표계로 region을 쪼개기 좋게 조건이 주어진다. 이 경우 $z$의 위아래 bound를 먼저 파악하여 부등식을 세우고, region을 $xy$ 평면에 projection시켜 그 상태에서 double integral에서와 마찬가지로 $x, y$의 범위를 파악한다. 

Volume

Definition 1. The volume of a closed, bounded region $D$ in space is $$V(D) = \iiint_D dV.$$

Average Value

Definition 2. If $f$ is integrable on a region $D$, then the average value of $f$ over $D$ is $$\text{av}(f) = \frac{1}{\text{volume of } D} \iiint_D F dV.$$