Surface Integral of Scalar Functions
Line integral이 임의의 곡선 위에서 함수를 적분하는 것이었다면, 이를 확장하여 임의의 surface 위에서 함수를 적분해보자. Scalar function $G(x, y, z)$와 smooth한 곡면 $S$가 있을 때, $S$는 $uv$ 평면의 region $R$에서 좌표 공간으로의 transformation인 $\mathbf{r}(u, v) = \langle f(u, v), g(u, v), h(u, v) \rangle$에 의해 parametrization된다. $S$의 area를 구했을 때와 같이, $R$을 잘게 쪼갠 piece에 대응되는 $S$ 위의 patch의 넓이를 $\Delta \sigma_{uv}$라고 하면 tangent plane의 넓이로 근사하여 $\Delta \sigma_{uv} = | \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v | du dv$임을 알 수 있다. 이제 $k$번째 patch $\Delta \sigma_{k}$ 위에 있는 임의의 point $(x_k, y_k, z_k)$를 선택해 $G$의 값을 구하자. 이를 통해 Riemann sum을 구성하면 $$\sum_{k=1}^n G(x_k, y_k, z_k) \Delta \sigma_k$$이고, $\Delta u, \Delta v \to 0$인 극한을 취하여 수렴하면 적분의 형태로 쓸 수 있다. 이를 아래와 같이 정의한다.
Definition 1. For a smooth surface $S$ defined parametrically as $\mathbf{r}(u, v) = \langle f(u, v), g(u, v), h(u, v) \rangle, (u, v) \in R$, and a continuous function $G(x, y, z)$ defined on $S$, the surface integral of $G$ over $S$ is given by the double integral over $R$, $$\iint_S G(x, y, z) d \sigma = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n G(x_k, y_k, z_k) \Delta \sigma_k \\ = \iint_R G(f(u, v), g(u, v), h(u, v)) |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| du dv$$ provided this limit exists.
다른 적분들과 마찬가지로 additivity를 가진다. 즉 $S$가 piecewise smooth하고 $S = S_1 \cup \cdots \cup S_n$으로 disjoint하게 partition된다면 $$\iint_S G d \sigma = \iint_{S_1} G d \sigma + \cdots + \iint_{S_n} G d \sigma$$이다.
Surface Integral of Vector Fields
Definition 2. Let $\mathbf{F}$ be a vector field in three-dimensional space with continuous components defined over a smooth surface $S$ having a chosen field of normal unit vectors $\mathbf{n}$ orienting $S$. Then the surface integral of $\mathbf{F}$ over $S$ is $$\iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d \sigma = \iint_S \mathbf{F} \cdot d \mathbf{a}.$$ This integral is also called the flux of the vector field $\mathbf{F}$ across $S$.
Line integral과 마찬가지로 스칼라 함수의 면적분을 정의한 다음, 벡터장의 면적분을 위와 같이 정의한다. 이때 $$\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v}{| \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v |}$$이므로 $$d \mathbf{a} = \mathbf{n} d \sigma = \frac{\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v}{| \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v |} | \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v | du dv = \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v du dv$$이다. 따라서 벡터장의 flux는 $$\iint_S \mathbf{F} \cdot (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v) du dv$$와 같이 계산할 수 있다.
$S$가 $g(x, y, z) = c$와 같이 implicit하게 주어진 경우도 마찬가지다. $\mathbf{n} = \pm \frac{\nabla g}{|\nabla g|}$이므로 $$d \mathbf{a} = \mathbf{n} d \sigma = \pm \frac{\nabla g}{|\nabla g|} \frac{|\nabla g|}{|\nabla g \cdot \mathbf{p}|} dA = \frac{\pm \nabla g}{|\nabla g \cdot \mathbf{p}|} dA$$이다. 따라서 flux는 $$\iint_S \mathbf{F} \cdot \frac{\pm \nabla g}{|\nabla g \cdot \mathbf{p}|} dA$$이다.
Orientable Surface
Definition 3. When we can choose a continuous field of unit normal vectors $\mathbf{n}$ on a smooth surface $S$, then we say that $S$ is orientable.
한 가지 짚고 넘어가야 할 점은 normal unit vector $\mathbf{n}$의 방향이다. 곡선에서는 일반적으로 parameter $t$가 증가하는 방향이 natural하므로, 그 방향으로 tangent unit vector $\mathbf{T}$의 방향을 택하였었다. 그리고 normal vector의 경우에는 parametrization에 의해 얻은 벡터 $\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v$의 두 가지 방향이 존재한다. 이때 우리는 $\mathbf{n}$의 방향을 outward하게 택하기로 하자.