Stokes's Theorem

2025. 1. 31. 22:07·Mathematics/Calculus
목차
  1. Stokes's Theorem 

Stokes's Theorem 

Theorem 1. Let SS be a piecewise smooth oriented surface having a piecewise smooth boundary curve CC. Let F=⟨M,N,P⟩F=⟨M,N,P⟩ be a vector field whose components have continuous first partial derivatives on an open region containing SS. Then the circulation of FF around CC in the direction counterclockwise with respect to the surface’s unit normal vector nn equals the integral of the curl vector field ∇×F∇×F over SS: ∮CF⋅dr=∬S(∇×F)⋅ndσ=∬S(∇×F)⋅da.∮CF⋅dr=∬S(∇×F)⋅ndσ=∬S(∇×F)⋅da.

스토크스 정리는 그린 정리의 첫번째 버전을 3차원으로 확장시킨 버전이다. 위 정리에서 RR은 xyxy 평면 위에 있는 plane이며 CC에 의해 둘러싸여 있다고 할 때, dσ=dxdydσ=dxdy이고 n=kn=k이므로 (∇×F)⋅n=(∇×F)⋅k=(∂N∂x−∂M∂y)(∇×F)⋅n=(∇×F)⋅k=(∂N∂x−∂M∂y)이다. 따라서 스토크스 정리는 그린 정리를 함의한다.

 

정리에서 SS는 piecewise smooth surface으로, smooth surface를 여러 개 이어붙인 surface를 말한다. 스토크스 정리는 boundary curve CC가 동일하다면 곡면 SS의 모양과는 무관하게 flux의 값이 같다고 말한다. 즉 위 적분의 값은 오직 curve CC에 의존하는 것이다. 이는 보존장의 선적분이 구간 양 끝점에만 의존한다는 path independence의 성질과 유사하다. 즉 곡면 내부의 정보는 오로지 경계면에 의해서만 결정된다고 요약할 수 있다. 

Proof. We assume that the equation of SS is z=g(x,y),(x,y)∈Dz=g(x,y),(x,y)∈D, where gg has continuous second partial derivatives and DD is a simple plane region whose boundary curve C1C1 corresponds to CC. Let's consider the level surface F(x,y,z)=z−g(x,y)=0F(x,y,z)=z−g(x,y)=0, and the normal vector field nn of FF is n=∇F=⟨−∂xg,−∂yg,1⟩n=∇F=⟨−∂xg,−∂yg,1⟩. Thus we have ∬S(∇×F)⋅ndσ=∬S[−(∂P∂y−∂N∂z)∂g∂x−(∂M∂z−∂P∂x)∂g∂x+(∂N∂x−∂M∂y)]dσ.∬S(∇×F)⋅ndσ=∬S[−(∂P∂y−∂N∂z)∂g∂x−(∂M∂z−∂P∂x)∂g∂x+(∂N∂x−∂M∂y)]dσ. If x=x(t),y=y(t),a≤t≤bx=x(t),y=y(t),a≤t≤b is a parametric equation of C1C1, then a parametric representation of CC is x=x(t),y=y(t),z=g(x(t),y(t)),a≤t≤bx=x(t),y=y(t),z=g(x(t),y(t)),a≤t≤b. This allows us to evaluate the line integral as follows: ∮CF⋅dr=∫ba(Mdxdt+Ndydt+Pdgdt)dt=∫ba[Mdxdt+Ndydt+P(∂g∂xdxdt+∂g∂ydydt)]dt=∫ba[(M+P∂g∂x)dxdt+(N+P∂g∂y)dydt]dt=∫C1(M+P∂g∂x)dx+(N+P∂g∂y)dy=∬S[∂∂x(N+P∂g∂y)−∂∂y(M+P∂g∂x)]dσ∮CF⋅dr=∫ba(Mdxdt+Ndydt+Pdgdt)dt=∫ba[Mdxdt+Ndydt+P(∂g∂xdxdt+∂g∂ydydt)]dt=∫ba[(M+P∂g∂x)dxdt+(N+P∂g∂y)dydt]dt=∫C1(M+P∂g∂x)dx+(N+P∂g∂y)dy=∬S[∂∂x(N+P∂g∂y)−∂∂y(M+P∂g∂x)]dσ where we have used Green's Theorem in the last step. Then, using the chain rule to M,NM,N and PP, we get ∮CF⋅dr=∬S[−(∂P∂y−∂N∂z)∂g∂x−(∂M∂z−∂P∂x)∂g∂y+(∂N∂x−∂M∂y)]dσ=∬S(∇×F)⋅ndσ.◼

스토크스 정리는 곡면 S가 다음 그림과 같이 유한 개의 구멍이 있어도 여전히 성립한다. 이때 경계면은 구멍의 경계면까지 포함해야 하며, S의 바깥 경계면이 counterclockwise일 때 방향은 clockwise로 잡는다. 즉 경계면을 따라 걸었을 때 왼쪽에 내부면이 위치하도록 잡는 것이다. 

Thomas Calculus 14e 995p.

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