Equipotence of Sets

Equipotent

Definition 1. Two Sets $X$ and $Y$ are said to be equipotent, symbolized as $X \sim Y$ provided that there exists a bijection $f : X \longrightarrow Y$.

이때 $\sim$를 relation으로 정의할 수 있고 뿐만 아니라 동치 관계가 된다는 것을 쉽게 알 수 있다. 두 집합 사이의 bijection이 존재한다는 것은 집합의 각 원소를 일대일 대응시킬 수 있다는 말이고, 이는 두 집합의 크기가 같다는 말로도 이해할 수 있다. 이는 유한집합 뿐만 아니라 무한집합을 다룰 때에 매우 유용한 툴이라고 할 수 있다.

Theorem 1

Theorem 1. Let $X, Y, Z$ and $W$ be sets with $X \cap Z = \emptyset = Y \cap W$, and let $f : X \sim Y$ and $g : Z \sim W$. Then $f \cup g : (X \cup Z) \sim (Y U W)$.

Theorem 2

Theorem 2. Let $X, Y, Z$ and $W$ be sets such that $X \sim Y$ and $Z \sim W$. Then $X \times Z \sim Y \times W$.

Theorem 3

Theorem 3. Let $A, B, X$ and $Y$ be sets such that $A \sim X, B \sim Y$. Denote the set of all functions from $A$ to $B$ by $B^A$. Then $B^A \sim Y^X$.