Equipotent
Definition 1. Two Sets X and Y are said to be equipotent, symbolized as X∼Y provided that there exists a bijection f:X⟶Y.
이때 ∼를 relation으로 정의할 수 있고 뿐만 아니라 동치 관계가 된다는 것을 쉽게 알 수 있다. 두 집합 사이의 bijection이 존재한다는 것은 집합의 각 원소를 일대일 대응시킬 수 있다는 말이고, 이는 두 집합의 크기가 같다는 말로도 이해할 수 있다. 이는 유한집합 뿐만 아니라 무한집합을 다룰 때에 매우 유용한 툴이라고 할 수 있다.
Theorem 1
Theorem 1. Let X,Y,Z and W be sets with X∩Z=∅=Y∩W, and let f:X∼Y and g:Z∼W. Then f∪g:(X∪Z)∼(YUW).
Theorem 2
Theorem 2. Let X,Y,Z and W be sets such that X∼Y and Z∼W. Then X×Z∼Y×W.
Theorem 3
Theorem 3. Let A,B,X and Y be sets such that A∼X,B∼Y. Denote the set of all functions from A to B by BA. Then BA∼YX.