Curvilinear Coordinates and Scale Factors
공간 상의 어떤 점의 좌표가 Cartesian coordinates에서 $(x, y, z)$로 표현된다고 하자. 이때 다른 좌표계에서 이 점의 좌표를 표현했을 때 일반적으로 좌표가 어떻게 얻어지는지 구하고자 한다. 우선 어느 좌표계든 orthogonal하다고 가정한다. 즉 각 좌표계의 단위벡터들은 서로 perpendicular하다.
바꾸고자 하는 좌표계가 $(q_1, q_2, q_3)$로 기술된다고 할 때, $x, y, z$는 각각 $q_1, q_2, q_3$의 함수로 표현된다고 가정하자. $\mathbf{r} = x\mathbf{\hat{x}} + y \mathbf{\hat{y}} + \mathbf{\hat{z}}$라고 할 때, $$(d\mathbf{r})^2 = (dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2$$이다. 또한 chain rule을 고려하면 $$(dx)^2 = \sum_{ij} \frac{\partial x}{\partial q_i} \frac{\partial x}{\partial q_j} dq_i dq_j$$이 성립하고, 이는 $(dy)^2, (dz)^2$도 마찬가지다. 이제 $$g_{ij}(q_1, q_2, q_3) = \frac{\partial x}{\partial q_i} \frac{\partial x}{\partial q_j}
+ \frac{\partial y}{\partial q_i} \frac{\partial y}{\partial q_j}
+ \frac{\partial z}{\partial q_i} \frac{\partial z}{\partial q_j} \\ = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_j}$$로 정의하고, $g_{ij}$에 대하여 $$h_i = \sqrt{g_{ii}}$$로 정의하면 $$g_{ij} = \begin{cases} h^2_i, & \text{ if } i = j \\ 0, & \text{ if } i \neq j \end{cases}$$가 성립한다. 좌표계 $(q_1, q_2, q_3)$는 perpendicular하기 때문이다. 따라서 $$(d\mathbf{r})^2 = (h_1 \, dq_1)^2 + (h_2 \, dq_2)^2 + (h_3 \, dq_3)^2$$이고, $$d r_i = h_i dq_i, \quad \text{or} \quad \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i} = h_i \hat{\mathbf{e}}_i$$를 얻는다. $\hat{\mathbf{e}}_i$는 $q_i$에 대응되는 unit vector다. 따라서 일반적으로 위치 벡터 $\mathbf{r}$은 Cartesian coordinate가 아닌 다른 좌표계에서 $$\mathbf{d r} = h_1 dq_1 \, \hat{\mathbf{e}}_1 + h_2 dq_2 \, \hat{\mathbf{e}}_2 + h_3 dq_3 \, \hat{\mathbf{e}}_3$$와 같이 작성된다. 보통 $\mathbf{r}$은 길이의 차원을 가지는데, spherical polar coordinate의 경우 $(q_1, q_2, q_3)$의 선형 결합은 길이의 차원을 가지지 않는다. 따라서 coefficient로 들어가는 $h_i$는 길이의 차원을 가지도록 보정해주는 보정 상수의 역할을 하며, scale factor라고 부른다.
Integrals in Curvilinear Coordinates
Cartesian coordinates에서 적분하기 어려운 경우 좌표계를 옮겨서 하면 쉽게 풀리는 경우가 많다. 이때 적분은 다음과 같이 계산된다.
1. Line Integral $$\int_C \mathbf{V} \cdot d\mathbf{r} = \sum_i \int_C V_i h_i \, dq_i$$ 2. Surface Integral $$\int_S \mathbf{V} \cdot d\boldsymbol{\sigma}
= \int_S V_1 h_2 h_3 \, dq_2 dq_3
+ \int_S V_2 h_3 h_1 \, dq_3 dq_1
+ \int_S V_3 h_1 h_2 \, dq_1 dq_2$$ 3. Volume Integral $$\int_V \varphi(q_1, q_2, q_3) h_1 h_2 h_3 \, dq_1 dq_2 dq_3$$ 이때 $h_1h_2h_3$는 정확히 Jacobian과 동일한 역할을 한다.
Differential Operators in Curvilinear Coordinates
Gradient, divergence, curl 등의 연산자들은 다음과 같이 표현된다.
1. Gradient $$\nabla \varphi(q_1, q_2, q_3) =
\hat{\mathbf{e}}_1 \frac{1}{h_1} \frac{\partial \varphi}{\partial q_1} +
\hat{\mathbf{e}}_2 \frac{1}{h_2} \frac{\partial \varphi}{\partial q_2} +
\hat{\mathbf{e}}_3 \frac{1}{h_3} \frac{\partial \varphi}{\partial q_3}
$$ 2. Divergence $$\nabla \cdot \mathbf{V}(q_1, q_2, q_3) =
\frac{1}{h_1 h_2 h_3} \left[
\frac{\partial}{\partial q_1}(V_1 h_2 h_3) +
\frac{\partial}{\partial q_2}(V_2 h_3 h_1) +
\frac{\partial}{\partial q_3}(V_3 h_1 h_2)
\right]$$ 3. Curl $$\nabla \times \mathbf{B} =
\frac{1}{h_1 h_2 h_3}
\begin{vmatrix}
\hat{\mathbf{e}}_1 h_1 & \hat{\mathbf{e}}_2 h_2 & \hat{\mathbf{e}}_3 h_3 \\
\frac{\partial}{\partial q_1} & \frac{\partial}{\partial q_2} & \frac{\partial}{\partial q_3} \\
h_1 B_1 & h_2 B_2 & h_3 B_3 \end{vmatrix}$$ 4. Laplacian $$\nabla^2 \varphi(q_1, q_2, q_3) = \nabla \cdot \nabla \varphi =
\frac{1}{h_1 h_2 h_3} \left[\frac{\partial}{\partial q_1} \left( \frac{h_2 h_3}{h_1} \frac{\partial \varphi}{\partial q_1} \right) +
\frac{\partial}{\partial q_2} \left( \frac{h_3 h_1}{h_2} \frac{\partial \varphi}{\partial q_2} \right) +
\frac{\partial}{\partial q_3} \left( \frac{h_1 h_2}{h_3} \frac{\partial \varphi}{\partial q_3} \right)
\right]$$