Bounded Sequences
Definition 13.1. We say that a sequence $\{a_n\}$ is bounded above (below) if there exists a number $M$ such that $a_n ≤ M$ ($a_n \geq M$) for every positive integer $n$. We say that $\{a_n\}$ is bounded if $\{a_n\}$ is bounded both above and below.
Remark. A sequence $\{a_n\}$ is bounded $\iff$ $\exists M > 0$ such that $|a_n| \leq M, \forall n \in \mathbb{P}$.
Theorem 13.2
Theorem 13.2. If $\{a_n\}$ is a convergent sequence, then $\{a_n\}$ is bounded.
Proof. For any $\varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbb{P}$ such that $|a_n - L| < \varepsilon, \forall n \geq N$. Note that $|a_n| = |a_n - L + L| \leq |a_n - L| + |L| < \varepsilon + |L|, \forall n \geq N$. For all $n < N$, $|a_n| \leq \max \{ |a_1|, ..., |a_{N-1}| \}.$ If we let $M = \max \{|a_1|, ..., |a_{N-1}|, |L| + \varepsilon \}$, then $|a_n| \leq M, \forall n \in \mathbb{P}$. Thus $\{ a_n \}$ is bounded. $\blacksquare$
Theorem 13.3
Theorem 13.3. Let $\{a_n\}$ and $\{b_n\}$ be sequences such that $\{a_n\}$ is bounded and $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$. Then $\lim_{n \to \infty} a_nb_n = 0$.
Proof. Note that $|a_n| \leq M, \forall n \in \mathbb{P}$ and $\forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbb{P}$ such that $|b_n| < \varepsilon, \forall n \geq N$. Thus $|a_nb_n - 0| = |a_n| |b_n| < M \frac{\varepsilon}{M} = \varepsilon, \forall n \geq N$. Thus $\lim_{n \to \infty} a_nb_n = 0.$ $\blacksquare$
이 정리는 $\{ b_n \}$의 수렴값이 0이 아니라면 일반적으로 성립하지 않는다. 반례로 $a_n = (-1)^n, b_n = 1$로 두면 수열 $a_nb_n = (-1)^n$이므로 수렴하지 않는다. 즉 위 정리는 수열 $\{ a_n \}$이 발산하지 않고 적당한 범위 내에서만 존재한다면, 즉 bounded라면 0으로 가는 극한에 영향을 미치지 못한다고 직관적으로 이해할 수 있다. 극한값이 0이 아니라면 위 반례와 같이 주어진 바운드 안에서 이리저리 튈 수 있기 때문에 수렴하지 않을 수 있다.