Bounded Sequences
Definition 13.1. We say that a sequence {an} is bounded above (below) if there exists a number M such that an≤M (an≥M) for every positive integer n. We say that {an} is bounded if {an} is bounded both above and below.
Remark. A sequence {an} is bounded ⟺ ∃M>0 such that |an|≤M,∀n∈P.
Theorem 13.2
Theorem 13.2. If {an} is a convergent sequence, then {an} is bounded.
Proof. For any ε>0, ∃N∈P such that |an−L|<ε,∀n≥N. Note that |an|=|an−L+L|≤|an−L|+|L|<ε+|L|,∀n≥N. For all n<N, |an|≤max{|a1|,...,|aN−1|}. If we let M=max{|a1|,...,|aN−1|,|L|+ε}, then |an|≤M,∀n∈P. Thus {an} is bounded. ◼
Theorem 13.3
Theorem 13.3. Let {an} and {bn} be sequences such that {an} is bounded and limn→∞bn=0. Then limn→∞anbn=0.
Proof. Note that |an|≤M,∀n∈P and ∀ε>0, ∃N∈P such that |bn|<ε,∀n≥N. Thus |anbn−0|=|an||bn|<MεM=ε,∀n≥N. Thus limn→∞anbn=0. ◼
이 정리는 {bn}의 수렴값이 0이 아니라면 일반적으로 성립하지 않는다. 반례로 an=(−1)n,bn=1로 두면 수열 anbn=(−1)n이므로 수렴하지 않는다. 즉 위 정리는 수열 {an}이 발산하지 않고 적당한 범위 내에서만 존재한다면, 즉 bounded라면 0으로 가는 극한에 영향을 미치지 못한다고 직관적으로 이해할 수 있다. 극한값이 0이 아니라면 위 반례와 같이 주어진 바운드 안에서 이리저리 튈 수 있기 때문에 수렴하지 않을 수 있다.