Theorem
Theorem. Let \( V \) and \( W \) be two subspaces of \( \mathbb{R}^n \), and let $\alpha = \{v_1, ..., v_p\}$ and $\beta = \{w_1, ..., w_q \}$ be bases for \( V \) and \( W \), respectively.
Put $$Q = \begin{bmatrix}
| & & | & | & & | \\
v_1 & \cdots & v_p & w_1 & \cdots & w_q \\
| & & | & | & & |
\end{bmatrix} \in M_{n \times (p + q)}(\mathbb{R}). $$ Then
(1) $\mathcal{C}(Q) = V + W $
(2) $\mathcal{N}(Q)$ can be identified with \( V \cap W \).
Proof. (1) Clearly, the basis for $V+W$ is $\alpha + \beta = \{ v_1, ..., v_p, w_1, ..., w_q \}$. Then $\mathcal{Q}$ is a basis for $V+W$ by the definition of the column space.
(2) Define \( f : \mathcal{N}(Q) \to V \cap W \) as follows: Let \[ \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_p \\ \beta_1 \\ \vdots \\ \beta_q \end{bmatrix} \in \mathcal{N}(Q), \quad \text{i.e.,} \quad \begin{bmatrix}
| & & | & | & & | \\
v_1 & \cdots & v_p & w_1 & \cdots & w_q \\
| & & | & | & & |
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_p \\ \beta_1 \\ \vdots \\ \beta_q \end{bmatrix} = 0. \] Then \[ \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_p v_p + \beta_1 w_1 + \cdots + \beta_q w_q = 0 \\ \Longrightarrow \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_p v_p = - (\beta_1 w_1 + \cdots + \beta_q w_q) \in V \cap W. \] Thus we define \[ f\left( \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_p \\ \beta_1 \\ \vdots \\ \beta_q \end{bmatrix} \right) = \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_k v_k = - (\beta_1 w_1 + \cdots + \beta_\ell w_\ell). \] Note that
(i) \( f \) is well-defined,
(ii) \( f \) is linear,
(iii) \( f \) is bijective.
$(\because)$
(i) Since each $\alpha_1, ..., \alpha_p, \beta_1, ..., \beta_q$ is unique, $f$ in well-defined.
(ii) Clear.
(iii) \( \forall v \in V \cap W \), \( v = \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_p v_p = \beta_1 w_1 + \cdots + \beta_q w_q \) for some \( \alpha_i, \beta_j \in \mathbb{R} \). Since $$\alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_p v_p + (-\beta_1)w_1 + \cdots + (-\beta_q)w_q = \mathbf{0} \\ \Longrightarrow \begin{bmatrix}
| & & | & | & & | \\
v_1 & \cdots & v_p & w_1 & \cdots & w_q \\
| & & | & | & & |
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_p \\ -\beta_1 \\ \vdots \\ -\beta_q \end{bmatrix} = 0 \Longrightarrow \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_p \\ -\beta_1 \\ \vdots \\ -\beta_q \end{bmatrix} \in \mathcal{N}(Q).$$ Thus we define \( g(v) = \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_p \\ -\beta_1 \\ \vdots \\ -\beta_q \end{bmatrix}. \) Note that $g$ is also well-defined and linear. It is easy to verify that $g(f(v)) = v$ and $f(g(w)) = w$ for any $v \in \mathcal{N}(Q)$ and any $w \in V \cap W $. Thus $g$ is the inverse of $f$, so that $f$ is bijective. $\blacksquare$
$V$와 $W$가 어떤 벡터공간의 부분공간일 때, $V+W$와 $V \cap W$ 또한 항상 부분공간이다. Direct sum의 구조를 생각해보면 이 두 부분공간이 꽤나 중요함을 알 수 있는데, 특별히 실벡터공간이 전체 공간으로 주어질 경우 각 벡터는 column vector로 주어지고, 이 벡터들로 행렬을 구성할 수 있기 때문에 선형 연립 방정식을 풀어서 각 부분공간의 기저를 찾아낼 수 있다.
우선 부분공간 $V$와 $W$의 기저가 주어져 있다고 할 때, 위 정리에 의해 기저벡터를 나열하여 만든 행렬 $Q$의 column space $\mathcal{C}(Q)$는 $V+W$와 같다. Span 조건은 column space의 정의에 의해 얻어지고, linearly independent한 행들을 찾아내야 한다. 따라서 $Q$를 RREF로 변환하며 leading $1$을 가지고 있는 행들에 대응되는 원래 행렬 $Q$의 행들을 모아 놓으면 그 집합이 바로 $V+W$의 기저이다.
그리고 변환시킨 $Q$의 RREF을 coefficient matrix로 가지는 homogeneous system of linear equation을 풀게 되면 선형 연립 방정식의 general solution의 구조에 의해 $\mathcal{N}(Q)$의 기저 $\gamma$를 찾을 수 있다. 이때 위 정리의 증명 과정에서 등장한 선형 변환 $f$는 isomorphism이므로 기저를 보존한다. 따라서 집합 $f(\gamma)$를 찾으면 $V \cap W$의 기저가 얻어진다. 이때 그 구조를 보게 되면, $\mathcal{N}(Q)$의 기저는 $\mathbb{R}^{p+q}$의 벡터들이므로 $V$ 부분에 해당하는 $p$개 성분과 $W$ 부분에 해당하는 $q$개 성분으로 나뉜다. 그런데 $\gamma$의 각 기저의 $f$의 함숫값은 $f$의 정의에 따라서 그 $p$개 성분을 계수로 가지는 $V$의 기저 $\alpha$의 벡터들의 선형 결합, 혹은 $q$개 성분을 계수로 가지는 $W$의 기저 $\beta$의 벡터들의 선형 결합으로 얻어진다. 그리고 이 벡터들을 모아놓은 집합이 바로 $V \cap W$의 기저가 된다.
Remark
Remark. Let \( U \) be the (reduced) row echelon form of $$Q = \begin{bmatrix} | & & | & | & & | \\ v_1 & \cdots & v_p & w_1 & \cdots & w_q \\ | & & | & | & & | \end{bmatrix}.$$ We can find the basis of \( \mathcal{N}(Q) = \mathcal{N}(U) \), put \[ \left\{ \begin{bmatrix} x_{1,1} \\ \vdots \\ x_{p,1} \\ y_{1,1} \\ \vdots \\ y_{q,1} \end{bmatrix}, \ldots, \begin{bmatrix} x_{1,r} \\ \vdots \\ x_{p,r} \\ y_{1,r} \\ \vdots \\ y_{q,r} \end{bmatrix} \right\} \] Then the basis for \( V \cap W \) is the set $$ \left\{ x_{1,1}v_1 + \cdots + x_{p,1}v_p, \ldots, x_{1,r}v_1 + \cdots + x_{p,r}v_p \right\} \\ = \left\{ - y_{1,1}w_1 - \cdots - y_{q,1}w_\ell, \ldots, - y_{1,r}w_1 - \cdots - y_{q,r}w_q \right\}. $$