Linear Transformation

    이 포스트에서 $V, W$는 모두 $F$-벡터공간으로 취급한다.

Linear Transformation

Definition 1. We call a function $T : V \rightarrow W$ a linear transformation from $V$ to $W$ if, $\forall x, y \in V$ and $c \in F$, we have 
(a) $T(x + y) = T(x) + T(y)$ and
(b) $T(cx) = cT(x)$.

    어떤 함수가 linear transformation이라는 것을 줄여서 linear라고 말하기도 한다.

Linear Operater

Definition 2. We call $T$ a linear operator on $V$ if $T$ is a linear transformation such that maps $V$ into itself: that is, $T: V \rightarrow V$. 

Remark

Remark. 
(a) If $T$ is linear, then $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}.$
(b) $T$ is linear $\Longleftrightarrow T(cx + y) = cT(x) + T(y), \forall x, y \in V$ and $c \in F$.
(c) $T$ is linear $\Longleftrightarrow$ for $x_1, ... x_n \in V$ and $a_1, ..., a_n \in F,$ we have 
$$T(\sum_{i=1}^{n} a_ix_i) = \sum_{i=1}^{n}a_iT(x_i)$$ 

    앞으로 어떤 함수가 linear인지 확인하기 위해서 조건 (b)를 사용할 것이다.

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Identity, Zero Transformation

Definition 3. 
(a) The identity transformation is a function $I_V : V \rightarrow V$ defined by $I_V(x) = x, \forall x \in V$.
(b) The zero transformation is a function $T_0 : V \rightarrow W$ defined by $T_0(x) = \mathbf{0}, \forall x \in V.$

    이 두 함수가 linear라는 것은 정의에 따라서 쉽게 보일 수 있다. 

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Linear Transformation Space

Definition 4. We denote the vector space of all linear transformations from $V$ into $W$ by $\mathcal{L}(V, W)$. In the case that $V = W$, we write $\mathcal{L}(V)$ instead of $\mathcal{L}(V, W)$.

    선형 변환들을 모두 모아놓은 집합은 위에서 정의한 identity, zero transformation과 아래처럼 정의되는 함수의 합과 상수배를 사용하면 $F$-벡터공간임을 쉽게 보일 수 있다.

Definition 5.
Let $T, U \in \mathcal{L}(V, W)$. We define $T + U: V \rightarrow W$ and $aT: V \rightarrow W$ by
(1) $(T + U)(x) = T(x) + U(x), \forall x \in V$,
(2) $(aT)(x) = aT(x), \forall x \in V$.

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Reference is here: https://product.kyobobook.co.kr/detail/S000003155051

Linear Algebra | Stephen Friedberg - 교보문고