The Elementary Operation

Elementary Operation

Definition 35. Let $A \in M_{m \times n}(F).$ The following operations on the rows (columns) of $A$ is called an elementary row (column) operation:
- Type 1: Interchanging any two rows (columns) of $A$.
- Type 2: Multiplying any row (column) of $A$ by a nonzero scalar. 
- Type 3: Adding any scalar multiple of a row (column) of $A$ to another row (column).

임의의 행렬이 주어졌을 때, 그 행렬의 어떤 행(열)끼리의 특수한 연산들을 elementary row (column) operation이라고 부른다. 이때 이 연산 또한 일종의 함수로 생각할 수 있으므로 각 연산들을 다음과 같이 함수로 정의하도록 하자.

Definition 36. The following functions are called an elementary row operation:
- Type 1: Fix $i$ and $j$($1 \leq i, j \leq m$).
We define $R_{i \leftrightarrow j}: M_{m \times n}(F) \longrightarrow M_{m \times n}(F)$ by $R_{i \leftrightarrow j}(A) = B$ such that $B_{kl} = \begin{cases} A_{kl} & \text{if } k \neq i \text{ and } j \\ A_{jl} & \text{if } k = i \\ A_{il} & \text{if } k = j \end{cases}$
- Type 2: Fix $i$($1 \leq i \leq m$) and $c (\neq 0) \in F$.
We define $R_{ci}: M_{m \times n}(F) \longrightarrow M_{m \times n}(F)$ by $R_{ci}(A) = B$ such that $B_{kl} = \begin{cases} A_{kl} & \text{if } k \neq i \\ cA_{il} & \text{if } k = i \end{cases}$
- Type 3: Fix $i, j$($1 \leq i, j \leq m$), and $c \in F$.
We define $R_{i + cj}: M_{m \times n}(F) \longrightarrow M_{m \times n}(F)$ by $R_{i + cj}(A) = B$ such that $B_{kl} = \begin{cases} A_{kl} & \text{if } k \neq i \\ A_{il} + cA_{jl} & \text{if } k = i \end{cases}$

    형식적인 정의이므로 신경쓰지 말자. 그저 Definition 13의 명제를 수식으로 해석한 것일 뿐이다. Column operation인 경우에도 유사하게 함수를 정의할 수 있고, 이 경우 $C_{i \leftrightarrow j}$와 같은 식으로 표기한다. 굳이 type을 구분하지 않고 임의의 elementary operation을 지칭할 때는 $R(A), C(A)$와 같이 표기한다.

    위 함수들은 벡터공간 $M_{m \times n}(F)$에서 정의된 invertible linear transformation임을 쉽게 알 수 있다. 단순하게 생각하면 새로운 행렬을 얻기 위해 수행한 연산들을 항상 거꾸로 적용해서 다시 본래의 행렬을 얻을 수 있고, 즉 각 연산에 대응되는 역연산, 즉 역함수가 존재하기 때문이다. 이를 증명 없이 다음의 정리로 서술하자. 굳이 증명을 원한다면 각 type에 대해 단순한 반복 계산노가다를 적용함으로 확인할 수 있다.

Theorem 45

Theorem 45. The elementary row operations are invertible linear transformations:
- Type 1: $R^{-1}_{i \leftrightarrow j} = R_{j \leftrightarrow i}$
- Type 2: $R^{-1}_{ci} = R_{\frac{1}{c}i}$
- Type 3: $R^{-1}_{i + cj} = R_{i + (-c)j}$

    만약 어떤 행렬 $A$에 elementary row operation을 반복적으로 적용하여 행렬 $B$를 얻었다고 하자. 그러면 $B = R_n \cdots R_1(A)$라고 쓸 수 있을 것이고, 모든 elementary row operation들은 가역이므로 $A = R^{-1}_1 \cdots R^{-1}_n(B)$과 같이도 쓸 수 있다.

Elementary Matrix

Definition 37. An $n \times n$ elementary matrix is a matrix obtained by performing only one time elementary operation on $I_n$. 

    elementary matrix는 identity matrix에 위에서 정의한 연산들을 수행하여 얻은 행렬이므로, $E$를 elementary matrix라 할 때 $E = R(I)$ 혹은 $C(I)$와 같이 표기할 수 있다. 

Theorem 46

Theorem 46. Let $A \in M_{m \times n}(F)$ and let $R$ be an elementary row operation function. Suppose that $B = R(A)$. Then $R(A) = R(I_n)A$.

    정리의 내용을 조금 더 뜯어보자. $B = R(A)$는 $A$에 어떤 elementary row operation을 수행하여 $B$를 얻었다는 뜻이다. 이때 정리는 $R(A) = R(I)A$임을 말해주고 있는데, 즉 $A$에 $R$이라는 연산을 수행하여 얻은 행렬이 동일한 연산 $R$을 수행한 elementary matrix와 $A$를 곱한 행렬과 같다는 것이다. 다시 말해 elementary operation를 수행하는 효과는 행렬에 elementary matrix를 곱한 것과 동일하다는 것이다. 

    또한 역으로 어떤 elementary matrix를 임의의 행렬에 곱한다면, 그 elementary matrix에 수행한 연산을 어떤 행렬에 수행한 것과 동일한 결과를 얻을 수 있다. 자세한 증명은 각 type의 함수를 구체적으로 적용함으로노가다 얻어진다. 

    추가로, 앞서 elementary operation은 가역이라고 했듯이 임의의 elementary matrix 또한 가역이다. 추가로, $E = R(I)$라면 $E^{-1} = R^{-1}(I)$다.

Theorem 47

Theorem 47. Let $E$ be an elementary matrix. Then $E$ is invertible, and $E^{-1}$ is an elementary matrix of the same type.

Proof. Note that $E = R(I)$. Then $R^{-1}(I)E = I$. Thus $E$ is invertible, and $E^{-1} = R^{-1}(I)$. $\blacksquare$

---

Reference is here: https://product.kyobobook.co.kr/detail/S000003155051

Linear Algebra | Stephen Friedberg - 교보문고