The Elementary Operation

Elementary Operation

Definition 1. Let $A \in M_{m \times n}(F).$ The following operations on the rows (columns) of $A$ is called an elementary row (column) operation:
- Type 1: Interchanging any two rows (columns) of $A$.
- Type 2: Multiplying any row (column) of $A$ by a nonzero scalar. 
- Type 3: Adding any scalar multiple of a row (column) of $A$ to another row (column).

    임의의 행렬이 주어졌을 때, 그 행렬의 어떤 행(열)끼리의 특수한 연산들을 elementary row (column) operation이라고 부른다. 이때 이 연산 또한 일종의 함수로 생각할 수 있으므로, 각 연산들을 다음과 같이 함수로서 정의하도록 하자.

Definition 2. The following functions are called an elementary row operation:
- Type 1: Fix $i$ and $j$($1 \leq i, j \leq m$).
We define $R_{i \leftrightarrow j}: M_{m \times n}(F) \longrightarrow M_{m \times n}(F)$ by $R_{i \leftrightarrow j}(A) = B$ such that $B_{kl} = \begin{cases} A_{kl} & \text{if } k \neq i \text{ and } j \\ A_{jl} & \text{if } k = i \\ A_{il} & \text{if } k = j \end{cases}$

- Type 2: Fix $i$($1 \leq i \leq m$) and $c (\neq 0) \in F$.
We define $R_{ci}: M_{m \times n}(F) \longrightarrow M_{m \times n}(F)$ by $R_{ci}(A) = B$ such that $B_{kl} = \begin{cases} A_{kl} & \text{if } k \neq i \\ cA_{il} & \text{if } k = i \end{cases}$

- Type 3: Fix $i, j$($1 \leq i, j \leq m$), and $c \in F$.
We define $R_{i + cj}: M_{m \times n}(F) \longrightarrow M_{m \times n}(F)$ by $R_{i + cj}(A) = B$ such that $B_{kl} = \begin{cases} A_{kl} & \text{if } k \neq i \\ A_{il} + cA_{jl} & \text{if } k = i \end{cases}$

    형식적인 정의이므로 신경쓰지 말자. 그저 Definition 1의 명제를 수식으로 해석한 것일 뿐이다. column operation인 경우에도 유사하게 함수를 정의할 수 있다. 이 경우 $C_{i \leftrightarrow j}$와 같이 표기한다. 굳이 type을 구분하지 않고 임의의 elementary operation을 지칭할 때는 $R(A), C(A)$와 같이 표기한다.

    위 함수들은 invertible linear transformation임을 쉽게 알 수 있다. 단순하게 생각하면 새로운 행렬을 얻기 위해 수행한 연산들을 항상 거꾸로 적용해서 다시 본래의 행렬을 얻을 수 있기 때문이다. 따라서 각 연산에 대응되는 역연산, 즉 역함수가 존재한다.

Theorem 1

Theorem 1. The elementary row operations are invertible linear transformations:
- Type 1: $R^{-1}_{i \leftrightarrow j} = R_{j \leftrightarrow i}$
- Type 2: $R^{-1}_{ci} = R_{\frac{1}{c}i}$
- Type 3: $R^{-1}_{i + cj} = R_{i + (-c)j}$

    위 정리에 의해 임의의 행렬 $P, Q$에 대해서 $Q = R(P)$가 성립한다면 $P = R^{-1}(Q)$이다. 이는 $Q$에서 $P$를 elementary operation에 의해 얻을 수 있다면, 그 역도 성립한다는 것이다. 

    Definition 1에서 연산을 정의해 놓고 굳이 왜 함수를 도입하는지 의문이 들 수 있는데, 이는 후에 나올 많은 표현들이 압도적으로 단순해지기 때문이다. 

Elementary Matrix

Definition 3. An $n \times n$ elementary matrix is a matrix obtained by performing an elementary operation on $I_n$. 

    elementary matrix는 identity matrix에 위에서 정의한 연산들을 수행하여 얻은 행렬이므로, $E$를 elementary matrix라 할 때 $E = R(I) \text{ or } C(I)$와 같이 표기할 수 있다. 

Theorem 2

Theorem 2. Let $A \in M_{m \times n}(F)$ and suppose that $B = R(A)$. Then $R(A) = R(I_n)A$.

    정리의 내용을 조금 더 뜯어보자. $B = R(A)$는 $A$에 어떤 elementary row operation을 수행하여 $B$를 얻었다는 뜻이다. 이때 정리는 $R(A) = R(I)A$임을 말해주고 있는데, 즉 $A$에 연산을 수행하여 얻은 행렬이 동일한 연산을 수행한 elementary matrix와 $A$를 곱한 행렬과 같다는 것이다. 다시 말해 elementary operation를 수행하는 효과는 행렬에 elementary matrix를 곱한 것과 동일하다는 것이다. 

    또한 역으로 어떤 elementary matrix를 임의의 행렬에 곱한다면, 그 elementary matrix에 수행한 연산을 어떤 행렬에 수행한 것과 동일한 결과를 얻을 수 있다. 자세한 증명은 각 type의 함수를 구체적으로 적용함으로서 얻어진다.

Theorem 3

Theorem 3. Let $E$ be an elementary matrix. Then $E$ is invertible, and $E^{-1}$ is an elementary matrix of the same type.

Proof. Note that $E = R(I)$. Then $R^{-1}(I)E = I$. Thus $E$ is invertible, and $E^{-1} = R^{-1}(I)$. $\blacksquare$

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Linear Algebra | Stephen Friedberg - 교보문고