Rank of Matrix

Rank of Matrix

Definition 1. Let $A \in M_{m \times n}(F)$. We define the rank of $A$, denoted rank($A$), to be the rank of $L_A: F^n \longrightarrow F^m$.

Theorem 1

Theorem 1. Let $T \in \mathcal{L}(V, W)$, and let $\beta$ and $\gamma$ be oredered bases for $V, W$, respectively. Then rank($T$) = rank($[T]_{\beta}^{\gamma}$).

Proof. Define $A = [T]_{\beta}^{\gamma}$. Then rank($T$) = rank($L_A$) = rank($A$). $\blacksquare$

    위 정리에 의해 linear transformation $T$와 그 matrix representation의 rank가 같으므로 위와 같은 행렬의 랭크의 정의가 좋은 정의임을 알 수 있다.